5.3. Универсальность и аналогичные подходы
Итак, вполне элементарный прием сведения линейных
краевых и начально-краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма
первого рода практически универсален с точки зрения своей реализации
в части следующих аспектов:
- порядок и структура дифференциальных уравнений;
- вид граничных условий;
- наличие переменных коэффициентов;
- форма области определения;
- размерность задачи.
При этом вся информация о конкретной задаче переносится
в функци-ональное уравнение, решение которого не требуется подчинять
каким-либо условиям на контуре области, что представляет существенное
преимущество. Так, его можно искать в виде ряда по системе координатных
элементов, ориентированной исключительно на обеспечение эффективности
процедуры численной реализации.
Другое дело, что получаемая в результате преобразований
задача оказывается некорректной, а соответственно для ее численной
реализации необходимо использовать адекватные методы. Вместе с тем
в приложениях может оказаться приемлемой аппроксимация решения такой
задачи посредством ряда, число членов которого не препятствует устойчивости
вычислительных алгоритмов. Исходя из этого, труднообъяснимым представляется
отсутствие интереса к системному использованию рассматриваемой процедуры,
особенно в период, предшествовавший общей ориентации на дискретизацию
задач математического моделирования.
Можно, пожалуй, констатировать, что в специальной
литературе не прозвучал тезис о существовании формализованного приема
сведения практически произвольных начально-краевых задач к интегральным
уравнениям Фредгольма первого рода. Наряду с этим имеется целый
ряд примеров применения аналогичных преобразований в ситуациях сравнительно
частного характера. Как правило, им придавалась физическая интерпретация,
в значительной мере скрадывавшая масштабность данного подхода.
Так, Ю.В.Репман использовал в качестве новых неизвестных
краевые усилия пластинки канонического очертания, позволяющие удовлетворять
условия на внутреннем контуре сложной конфигурации [8]. Л.А.Розин
разработал метод расчленения, который дает возможность сводить к
системам интегральных уравнений Фредгольма первого рода задачи расчета
оболочек относительно усилий взаимодействия выделяемых стержней
[9, п.9]. В ряде публикаций отмечены преимущества аппроксимации
старших производных дифференциальных уравнений по одной из переменных,
после чего остается воспользоваться операциями интегрирования, которые,
если их сравнивать с численным дифференцированием, являются гораздо
более точными (см. [10]). При этом фактический переход к некорректной
постановке, зачастую, не усматривался.
В целом же, по нашему мнению, произошло своеобразное
поглощение оговоренной процедуры сведения методами теории потенциала,
базирующимися на использовании интегральных соотношений вдоль границ
областей определения и аппарата фундаментальных решений [11]. Достигаемое
при этом понижение размерности искомых функций, вероятно, превзошло
по своей значимости отмеченную универсальность. Более того, возник
интерес к построению интегральных уравнений с сильными особенностями
в ядрах, которые частично сглаживают фактор некорректности [12].
Некоторые задачи для дифференциальных уравнений
в частных производных и, например, следующего
где 
и
– данные функции переменных x и y, непосредственно
сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра или Фредгольма второго
рода относительно старшей производной 
.
Данная проблематика подробно исследована Г.Мюнтцем [13] и, в этой
связи, значительный интерес представляет установленная им безуспешность
вариантов распространения подобных преобразований на случай простейшего
уравнения эллиптического типа.
