|
6.2. Краевая задача для существенно нелинейного
дифференциального уравнения
Имеется в виду нелинейность вхождения старших производных.
В качестве примера рассмотрим уравнение Монжа-Ампера, которое играет
важную роль при исследовании целого ряда проблем геометрии:
(6.8)
где 
и 
зависят от переменных 
искомой функции 
и ее первых производных 
[3].
Пусть для определенности
и
 .
(6.9)
Не вдаваясь в анализ условий, налагаемых на данные
приведенной задачи для существования и единственности ее решения,
наметим схему вычислительного эксперимента. Следует принять во внимание,
что соответствующие оценки достаточно нетривиальны и, как правило,
распространяются на сравнительно частые случаи [4].
Используем обозначения
вследствие чего с учетом (6.9)
В результате
подстановки этих выражений в (6.8) и исключения функции
рассматриваемая задача сводится к системе уравнений
(6.10)
(6.11)
(6.12)
Из существования
вытекает возможность двукратного дифференцирования уравнений (6.11),
(6.12) соответственно по x
и y,
в результате которого
Уравнение (6.10) приобретает вид
и после интегрирования
в пределах 0, x
и 0, y:
 ,
(6.13)
где
При этом предполагается
существование производных  .
В отношении численной реализации уравнения (6.13)
можно повторить соображения предыдущего подраздела.
|
