|
|
|
|
|
Пусть, например:
(6.1)
(6.2)
где 
и 
– данные 
-функции.
Из обозначения
(6.3)
следует
(6.4)
(6.5)
где 
, 
– постоянные интегрирования.
Подстановка выражений (6.3) и (6.5) в (6.1) приводит к интегральному уравнению Вольтерра второго рода
(6.6)
решение которого имеет вид:
(6.7)
где 
– резольвента ядра 
Из граничных условий (6.2) с учетом (6.4), (6.5) и (6.7):
(6.8)
Можно поступить иначе, а именно, подставив выражения
(6.4), (6.5) в (6.2), найти
в результате чего
(6.9)
В отличие от (6.6), задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода
(6.10)
решение которого
(6.11)
где – резольвента ядра*
| * Предполагается, что однородное уравнение (6.10) имеет только тривиальное решение. |
Подстановка выражения (6.7), с учетом (6.8), в (6.5), или (6.11) – в (6.9), позволяет найти решение задачи (6.1), (6.2). Заметим, что рассмотренный прием практически индифферентен к порядку дифференциального уравнения, виду граничных, или же начальных условий и данным задачи.
Подобные преобразования традиционно освещаются в курсах по теории интегральных уравнений (см., например, [1, 2]). Вместе с тем при решении прикладных задач, что можно охарактеризовать как своеобразный парадокс, построение интегральных уравнений второго рода относительно старшей производной не получило широкого распространения. И это, несмотря на весьма активные попытки популяризации данного подхода, среди которых можно выделить работы Ш.Е.Микеладзе, И.А.Биргера, А.Н.Голубенцева [3–5].
Видимо, причиной такого положения явились, с одной стороны, несовершенство технических средств численной реализации квадратурных формул в период, предшествовавший масштабной компьютеризации; с другой – недостаточная популярность аппарата теории интегральных уравнений в среде прикладников.
И вместе с тем вот, что говорит Г.Виарда [6, с.5]: «… интегральное уравнение заменяет собой соответствующее дифференциальное уравнение вместе с его граничными условиями, которые, если только речь идет о вполне определенном физическом явлении, необходимо появляются при всяком дифференциальном уравнении. Интегральное уравнение, содержит в себе уже все элементы, определяющие физическую задачу. Следующее преимущество интегральных уравнений состоит в том, что в большинстве случаев мы приходим к уравнениям одного и того же типа …, в то время как типы дифференциальных уравнений, даже в очень родственных задачах, часто оказываются весьма различными».
