|
|
|
|
|
В п.4.1
развиты предшествовавшие соображения о том, что восстановление функции 
по результату интегрирования
нельзя рассматривать в постановке решения
интегрального уравнения Фредгольма первого рода (4.1). Сформулирована задача
об определении 
по данным 
и 
с учетом неизбежно возникающей погрешности
вычислений. Для этого предложено использовать функциональную зависимость между
погрешностью интегрирования – 
и 
так, чтобы оказалось возможным адаптивно компенсировать
малую несогласованность между 
и значениями 
которые известны фактически, см. (4.2), (4.3).
Далее,
в п.4.2 показано, что функциональная модель погрешности вычисления интеграла
(4.1), см. п.3.5, действительно может быть представлена выражением (4.4). Последнее
является разностью между искомой функцией и интегралом от нее, а также еще
одной неизвестной функции 
с ядром 
которое имеет вид (4.13). При этом для выполнения
(4.6) – условия, выражающего малость 
оказалось необходимым,
чтобы функция была гармонической.
В таком
предположении могут, видимо, рассматриваться задачи типа определения параметров
потока тепла (описываемого уравнением Лапласа) по результату 
его воздействия на систему
с характеристикой 
Вместе с тем, желательно, чтобы функция 
удовлетворяющая уравнению (4.1), могла быть
более произвольной; в идеальном случае – принадлежащей пространству 
Очевидно,
упомянутая гармоничность обуславливается присутствием в выражении 
параметра 
При этом использование вместо (4.13) другого,
также ограниченного ядра, практически ничего не дает, поскольку область значений
вполне непрерывного оператора не является замкнутой.*
* Каждое замкнутое подпространство  – конечномерно [1, с.96].
|
Весьма
существенный момент – произведенное в п.4.3 распространение (4.4) при условии
(4.6) на 
приведшее к уравнению (4.24). В отличие от
него, уравнение (4.25) имеет более отвлеченную связь с задачей (4.1). Это уравнение
появилось из представлений о том, что результативности выкладок будет способствовать
использование, наряду с (4.24), уравнения-аналога, отличающегося обращением
свободного члена в нуль на другой части интервала определения, 
Путем несложных преобразований, оказалось
возможным получить ключевые в данном случае соотношения: (4.32), далее (4.43),
(4.44), (4.48) и итоговое – (4.50).
Уравнения (4.24) и (4.25) – весьма своеобразны. Очевидно, при вычитании
(5.1)
из уравнения (4.23), на этой части интервала определения появляется уравнение (4.25) и соответственно, с учетом также (4.44) и (4.48)
таким образом, 
(то есть, уравнения (5.1) и (4.36) – на 
идентичны).
Одновременно
происходит «перетекание» (трудно охарактеризовать эту процедуру иначе) свободного
члена уравнения (4.24) – 
в свободный член уравнения (4.25) – 
Действительно, вследствие (4.32), в уравнении
(4.24) на 
осуществляется преобразование:
|
|
|
|
Однако, что бы ни говорилось о предпосылках построения (4.24), (4.25), как формально, так и по существу это интегральные уравнения Фредгольма второго рода, решения которых имеют вид (4.28) – (4.31). На одной части интервала определения их свободные члены содержатся в явном виде, на другой – под интегралом. Данное обстоятельство, совсем не существенное как с точки зрения положений общей теории уравнений указанного типа, так и методов их численной реализации, представляет собой очень важный фактор реализации последующих преобразований.
В п.4.3
приведена также схема построения уравнений (4.24) и (4.25), отправляясь от гипотетически
данной функции 
Иначе говоря, структура этих уравнений не
содержат противоречий.
Тривиальное,
на первый взгляд, сложение (4.1) с (4.24) и (4.25), приведшее к уравнениям (4.34),
(4.35), имеет весьма содержательный смысл – это встраивание модели погрешности
в процедуру определения функции
Обращаясь к п.4.4, заметим, что с помощью (4.45) и (4.48) соотношения (4.43), (4.44) преобразуются следующим образом:
(5.2)
(5.3)
(как представляется, безотносительно произведенных выше выкладок, этот результат
совсем не очевиден).
Покажем как (4.34) превращается в уравнение (4.35).*
| * Процедура, обратная использованной в п.4.4. |
Подстановка 
из (5.3) в (4.34) приводит к уравнениям
|
(5.4) |
|
|
|
|
(5.5) |
|
|
Из (5.3), (4.32) и (4.43) следует, что в (5.4) и (5.5) соответственно
(5.6)
(5.7)
Тождественность
(5.4), (5.5) уравнению (4.35) очевидна (функция 
из (5.7) исключается). Аналогично, наоборот,
(4.35) с помощью соотношений (5.2), (5.3) и (5.6) превращается в уравнение (4.34).
Из (4.39) следует, что
(5.8)
то есть функция, удовлетворяющая
(4.1), является суммой решений интегральных уравнений Фредгольма второго рода
(4.36) и (4.38), обусловленных компонентами свободного члена (4.35), соответственно
и 
Функция
зависит от данных исходной задачи, представляя
собой решение видоизмененного уравнения (4.1), – искусственно «сдвинутого» в
плоскость устойчивости процедур численной реализации. Это решение совсем другой
задачи, нежели рассматриваемая и, конечно, функция уравнению (4.1) не удовлетворяет.
В свою
очередь, функция 
зависит от 
что следует из уравнений
(4.36), (4.52) и выражений (4.54), (4.41). Сложение 
с 
в (5.8) адаптивно компенсирует влияние упомянутого
«сдвига», делая функцию удовлетворяющей уравнению
(4.1).
При этом,
что следует подчеркнуть, выкладки на каждом из этапов решения: «сдвиг»; «компенсация
сдвига» осуществляются в привязке к корректно поставленной задаче. Процедуру
(5.8) можно трактовать и как вычленение из функции той ее части, которая препятствует
удовлетворению уравнения (4.1).
Используем
соотношение 
вытекающее из (5.3) и (4.39). Соответственно
и поскольку 
то 
или же вновь имеем (5.3).*
*
То есть, решение уравнения (4.34) на  представляет собой сумму решений уравнений
(4.35) и (4.36) на этом интервале. |
Данное обстоятельство полностью соответствует логике
«перетекания» функций и одной в другую. Действительно,
«отдав» 
функция 
превращается в 
и вместо появляется 
уравнение (4.34) приобретает вид (4.35). Обратная
процедура, то есть превращение (4.35) в (4.34), естественно, сопряжена с «возвращением»
Итак,
в предположении о том, что функция 
– гармоническая, задача свелась к решению
уравнения (4.52). Его свободный член зависит от функции 
которая, в свою очередь, определяется решением
также интегрального уравнения Фредгольма второго рода (4.40) и выражением (4.41).
Отмеченный
результат преобразований (их можно охарактеризовать как эквивалентные) сопроводим
интерпретацией. Есть гармоническая функция 
интегрируемая по формуле (4.1),
которая определяется выражением (4.30). Последнее, так как 
представляет собой интегральное
уравнение Фредгольма второго рода относительно функции При выполнении условия
(4.18) можно тем, или иным способом найти его решение – 
Подстановка 
в уравнение (4.52), безотносительно с этой
точки зрения к виду ядра 
позволяет вычислить свободный член
То есть, уравнение (4.52) имеет полное право
на существование.
Иначе
говоря, при данном ядре конкретно, имеющем вид (4.55), и соответствующем
значении параметра 
существует свободный член 
такой что решение интегрального уравнения
Фредгольма второго рода (4.52) – 
будучи подставлено в выражение
(4.30), позволит определить функцию 
которая удовлетворяет уравнению
(4.1).
Произведенные
выкладки, собственно, состояли как в построении самого уравнения (4.52), так
и эффективном определении его свободного члена 
При этом ядро 
не зависит от данных задачи,
а обуславливается исключительно интересами конструктивной стороны преобразований.
Имеется в виду возможность использования аппарата теории интегральных уравнений
Фредгольма второго рода с симметричными ядрами, проистекающая от модели погрешности
(4.4), условия (4.6), ядра (4.13) и способа последующего распространения задачи
на
Проведению
преобразований в аналитическом виде, включая нахождение резольвенты (4.56),
существенно способствовали свойства ядра 
*
| * Их перечень приведен в следующем подразделе. |
В то же время, для этого вместо (4.19) могли бы использоваться
и другие сходящиеся ряды по элементам 
из (4.17).
Однако
ядру (4.13) присуще особое качество, состоящее в том, что при 
интеграл
см. (4.19), (4.76), где
представляет собой ряд Фурье
функции по элементам (4.17). Как известно (см., например,
[2, с. 110-116]), с помощью такого ряда можно приблизить в среднем произвольную
функцию из пространства *
* Альтернативой в этом
смысле является ядро (4.19) при  представляющее ряд  сумма которого не ограничена. |
Здесь
в полной мере проявляется взаимнооднозначное, непрерывное и линейное соответствие
между пространствами 
и 
вытекающее из теоремы Рисса-Фишера
[3, с.116-119]. Наряду с этим, предельный переход можно рассматривать как
реализацию замысла о превращении 
в пространство (см. п.3.5).
Важно
отметить, что об устойчивости вычислительной процедуры п.4.6, с использованием
предельного перехода 
можно судить по линейной зависимости между
коэффициентами Фурье 
и 
– соответственно искомой
функции функции удовлетворяющей уравнению
(4.40), и свободного члена из (4.1), см. (4.76), (4.77) и (4.78).
Характерным
представляется следующий момент. При подстановке выражений (4.71) и (4.72) с
то есть (4.79), – (4.40)
не изменяет в качестве интегрального уравнения Фредгольма второго рода своего
статуса. В этой связи следует отметить, что разложение в ряд (4.66) – лишь один
из возможных способов его решения. Если осуществить такую же подстановку в (4.41),
численно найти из уравнения (4.40) и затем функцию то будет определяться путем
ее умножения на коэффициент
см. (4.77). Вместе с тем, узнать об этом оказалось возможным лишь на основании
преобразований с параметром 
и устремления его к 
Доказательство
удовлетворения уравнению (4.1), см. п.4.5, – очень важный
момент, смысл которого заключается в следующем. При выводе уравнения (4.52)
использовалось условие, касающееся тождественности решений уравнений (4.25)
и (4.35), однако в неявном виде. Анализ фактически произведенных выкладок позволил
сделать вывод о том, что это условие действительно выполняется и функция определяемая посредством решения (4.52), удовлетворяет
уравнению (4.1).
Тем самым,
по существу, подтверждена возможность реализации в (4.52) свободного члена адекватного подстановке на место функции, результатом интегрирования которой
по формуле (4.1) является 
