Содержание

Перейти к 1-й редакции книги (2001 г)

Евгений Перчик. Методология синтеза знаний:

преодоление фактора некорректности задач математического моделирования

/www.pelbook.narod.ru

Проанализированы вопросы, связанные с представлениями Ж.Адамара относительно корректной постановки задач математической физики. В этой связи затронуто толкование рядом источников созвучной им теоремы Банаха об обратном операторе. Приведены соображения о том, что современный аппарат математического моделирования радикально противоречит концепциям Адамара, Банаха и других выдающихся ученых, избрав приоритетом реализацию алгоритмов, основывающихся на признании адекватности некорректно поставленных задач явлениям окружающей действительности.

Предложен метод решения задач, традиционно отождествляемых с интегральным уравнением Фредгольма первого рода   базирующийся на представлении погрешности процедуры интегрирования в виде  Здесь  – интегральный оператор с пределами  и ядром Пуассона;  – параметр. Не вполне непрерывное возмущение оператора  посредством  при условии  позволило трансформировать постановку задачи. При этом использовались: распространение задачи   где  – параметр, на  уравнения аналогичной структуры с такой же функцией  По существу, выкладки состояли в практической реализации условия  Ключевую значимость при этом имело установление соотношений между компонентами обозначенных систем уравнений, позволяющих превращаться одной из них в другую. Для случая, когда функция  – гармоническая, задача свелась к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с благоприятными в вычислительном отношении свойствами. 

Решение этого уравнения представлено в виде ряда Фурье, коэффициенты которого зависят от данных задачи и параметра  Предельный переход  позволил расширить класс возможной принадлежности  до пространства  Во втором варианте решения,  предполагалось – изначально. Вследствие этого, удовлетворение условию  потребовалось рассматривать в смысле обобщенных функций. По сравнению с предыдущим, такой подход более формализован; получаемое в результате сравнительно несложных преобразований интегральное уравнение Фредгольма второго рода подлежит численной реализации.

Общая концепция работы заключается в следующем. Существует и единственна функция  такая, что  однако задача определения ее из этого уравнения по данным  и  – некорректна. Вместе с тем, не трудно представить интегральное уравнение Фредгольма второго рода, свободный член которого такой, что  Реализация процедуры «выстраивания» этого уравнения, или же корректно поставленной задачи, отправляясь от  составляет основу излагаемого ниже материала. Иначе говоря, сформулирована корректная постановка задачи об определении функции, удовлетворяющей интегральному уравнению Фредгольма первого рода.

Продемонстрирован универсальный способ сведения краевых и начально-краевых задач, характеризующихся наличием переменных коэффициентов, сложностью области определения и т.п. факторами, – к двумерным интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Показано, что разработанный алгоритм непосредственно распространяется на их реализацию. Отмечена возможность использования данного обстоятельства в целях исследования указанных задач на разрешимость.

Значительное внимание в тексте уделено обсуждению методологических аспектов постановки задач математической физики. Аргументировано мнение о принципиальной неправомерности восстановления причины по следствию в рамках методологии, замыкающейся на примитивном переименовании известной и неизвестной функций в постановке соответствующей прямой задачи. Цель работы состоит в практическом воплощении утверждения Адамара о возможности корректно формулировать физически содержательные задачи.

E-Mail: eperchik@bk.ru

Eugene Perchik. Methodology of syntheses of knowledge: overcoming incorrectness of the problems of mathematical modeling
 / www.pelbook.narod.ru

J. Hadamard's ideas about the correct statement of the problems of mathematical physics have been analyzed. In this connection various interpretations of the directly related Banach theorem about the inverse operator has been touched. The contemporary apparatus of mathematical modeling is shown to be in a drastic contradiction with concepts of J. Hadamard, S. Banach and a number of other outstanding scientists in the sense that the priority is given to the realization of algorithms, which actually imply that incorrectly stated problems are adequate to real phenomena.

A new method is developed for solving problems traditionally associated with the first-order Fredholm integral equations   It is based on the representation of the integration error in the form  where  is the integral operator with limits  and Poisson kernel;  is parameter. Incompletely continuous perturbation of operator  with  provided that  makes it possible to change the statement of the problem. This involves (i) the extension of the problem   ( is parameter) onto  and (ii) the use of equations with similar structure and the same function  The essence of this is the practical realization of the condition  A key point here is to interrelate the components of the above systems of equations to enable their mutual conversion. In the case when function  is harmonic the problem is reduced to the second-order Fredholm integral equations with properties favourable in computational respect.

The solution to this equation is given in the form of Fourier series with coefficients depending on parameters of particular problem and also parameter  The class of possible   may be extended to  by the limit transition  In the second approach, the belonging  was assumed from the very beginning. Accordingly, condition  needs to be addressed in terms of generalized functions. In comparison with the first approach, this one is more formal; relatively simple transformations result in second-order Fredholm integral equation with properties most favorable for the numerical realization.

The general concept in this book is as follows. There is one and only one function  such that  but the problem to restore it from this equation with known  and  is incorrect. Along with this, it is not difficult to imagine second-order Fredholm integral equation with such a free term that  The essence of this text is to show how to construct this equation starting from  In other words, the problem to find a function that satisfies the first-order Fredholm integral equation is stated correctly.

The possibility is shown to extend the approach suggested for a wide circle of problems that may be reduced to two-dimensional first-order Fredholm equations; these are linear boundary-value and initial-boundary-value problems with variable coefficients, non-canonical domain of definition and other peculiarities complicating their solution. The elaborated algorithm is shown to be directly applicable to them. Note that this may be used for examining the above problems for solvability.

In discussing the statement of problems of mathematical physics, a considerable attention is paid for the methodological aspects. Conclusions about cause-and-effect relations are argued to be essentially illegitimate when the solution of a problem is traced in the long run to a primitive renaming of known and unknown functions of a corresponding direct problem. The aim of this work is a constructive realization of J. Hadamard's opinions that physically meaningful problems always have correct  statements. 

E-Mail: eperchik@bk.ru

Содержание