|
|
|
|
|
Сформулированные Ж.Адамаром на рубеже начала ХХ столетия условия корректности (см. [1]), которые он затем настойчиво популяризировал, едва ли не в первую очередь привлекают неуклонно возрастающей актуальностью для практических приложений. Эти условия относятся к концептуальной основе математического моделирования физически содержательных задач, что по существу никем не оспаривается, и вместе с тем на современном этапе возобладало мнение о том, что положения Адамара – ошибочны.
Имеется в виду основополагающее утверждение о том, что из свойств существования и единственности решений, которые он считал объективно присущими математическим моделям реальных явлений, вытекает корректность постановки адекватных им краевых (начально-краевых) задач, подразумевающая устойчивость используемых алгоритмов численной реализации. Из этого, в частности, следует, что интегральное уравнение Фредгольма первого рода, попросту говоря, не годится для «употребления» в целях математического моделирования.
Естественный ход развития исследований, ставящих целью подтвердить, или же опровергнуть утверждение, постулат, гипотезу, а возможно – пророчество Адамара, казалось, должен был вестись с позиций вариативности постановок рассматриваемых задач, однако этого не произошло. По-видимому, главной причиной явилось формирование представлений об особой миссии вычислительных средств математического моделирования в системе естествознания, вследствие чего оказалось возможным легко пренебречь даже одним из основных принципов функционального анализа – теоремой Банаха об обратном операторе [2; 3, п.9; 4].
Трудно найти объяснение отсутствию в специальных источниках последовательно проводимого тезиса о необходимости конструктивного сопряжения постановок задач математической физики с алгоритмами их численной реализации. Корни сложившегося положения видятся в системной ориентации гигантского компьютерно-обеспечивающего комплекса на достижение коммерческого эффекта за счет высокой стоимости предоставляемых услуг.
В итоге критика позиции Адамара выстраивается альтернативной школой А.Н.Тихонова по схеме:
- решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода
(3.1)
в общем случае, является некорректной задачей (что неоспоримо);
-
интегральные уравнения такого типа адекватны множеству реальных явлений,
в подтверждение чего фактически предъявляется вполне прозрачная интерпретация
соответствующих прямых задач (вычисление 
по данным 
и 
).
Однако на каком основании постановка задачи, обратной вычислению 
может производиться путем
всего лишь механического переименования в (3.1) данной и искомой функций? Из
того, что при данных 
и 
процедура восстановления
функции 
является вычислительно некорректной, – ровным
счетом ничего большее не следует.
Упреки в адрес Адамара, характерные моменты которых воспроизведены в п.1.1, интегративно выражают позицию: великий ученый затормозил развитие науки, не признав адекватность некорректно поставленных задач реалиям наблюдаемых процессов (см. [3–5]). Действительно, в сформулированных Адамаром принципах постановки задач нет места некорректности, но это совсем не означает их неправомерность. Если Адамар привел в подтверждение своей концепции убедительные доводы и, можно сказать, опирался на постулаты математической религии, то «некорректная наука» никак не аргументировала саму оправданность своего существования.
Среди приверженцев исследования задач математической физики исключительно в корректной постановке такие имена как А.Пуанкаре, Д.Гильберт, В.А.Стеклов, И.Г.Петровский, И.Пригожин [6–10]. Наряду с этим едва ли позитивную роль сыграло введение Д.Гильбертом и Р.Курантом [11] трех независимых условий корректности: существование, единственность и непрерывная зависимость решения от данных задачи.
Потенциал того обстоятельства, что третье из них является следствием предыдущих,
– мог бы способствовать активизации исследований, связанных с корректной постановкой
задач математической физики. Рассматривая интегральное уравнение Фредгольма
первого рода (3.1), пришлось бы внимательнее отнестись к возможности осуществления
соответствующих преобразований c 
в противовес, образно выражаясь,
суррогату непрерывной обратимости при использовании параметра регуляризации
