|
|
|
|
|
Известен целый ряд работ, в которых рассматриваются вопросы возмущения линейных операторов ([4, 5, п.7] и другие). В них исследованы, главным образом, вполне непрерывные возмущения, а также возмущения спектра. Нулевая погрешность (4.4) представляет собой не вполне непрерывное возмущение. Как показано в п.4.4, такое возмущение (в отличие от вполне непрерывного) может качественно изменить постановку задачи и привнести принципиально новые возможности ее численной реализации.
Необходимым
в этой связи является условие (4.6), обращающееся затем в (4.81). Действительно,
возникает (4.8) – интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно
искомой функции 
создающее предпосылки далеко идущих преобразований.
В совокупности, (4.4) и (4.6) можно охарактеризовать как определяющий фактор
построения устойчивого алгоритма численной реализации задачи (4.1).
И все
же, этого для проведения преобразований п.4 – недостаточно. Пусть в (4.4) 
и вместо (4.5) оператор
(5.9)
Для однозначной
разрешимости уравнения (4.7) здесь также требуется ядро 
обладающее свойством замкнутости.
Поэтому его можно принять в виде (4.13). Вместо (4.8) теперь
Распространяя
с учетом данного обстоятельства уравнение (4.7) на 
как в п.4.3, получаем:
(5.10)
(5.11)
где 
– неопределенная функция.
Решение
уравнения (5.11) выражается через резольвенту ядра 
Его подстановка в (5.10) приводит
к уравнению вида
где 
– функция, зависящая от 
Однако,
его сопряжение с уравнением (5.11) невозможно; то есть, процедура распространения
на 
– реально ничего не дает. Причина – отсутствие
в уравнении (5.11) функции 
Если же распространение
(5.10) на 
выполнить с участием определенного интеграла
от 
то получится алгоритм п.4.4 в усложненном
варианте.
Вместе с тем, настоящая причина непригодности оператора (5.9) для использования в (4.5) кроется глубже. Суть в качественного характера несоответствии между областями значений интегральных операторов Фредгольма и Вольтерра первого рода. Если в первом случае решение соответствующего уравнения существует лишь при выполнении условий теоремы Пикара, то во втором – для его определения достаточно, чтобы ядро и свободный член были непрерывными.*
| * Подразумевается приведение к интегральному уравнению Вольтерра второго рода путем дифференцирования. |
В свете
сказанного, следует отметить второй фактор достигаемой результативности. Он
связан с собственно распространением уравнения (4.4), в котором оператор 
имеет вид (4.5), при условии
(4.6), на согласно (4.23). При этом решение уравнения
(4.24) на 
содержит функцию соответственно в явном виде и только под интегралом.
Данное обстоятельство представляет собой существенную предпосылку получения
относительно интегрального уравнения Фредгольма второго
рода.
Третий
фактор состоит в использовании наряду с (4.24), (4.34) уравнений (4.25) и (4.35).
С их помощью построение алгоритма переходит в плоскость практической реализации.
В процессе приведения (4.35) к уравнению (4.34), имеющему такое же решение на
получены основные расчетные соотношения.
И, наконец,
четвертый фактор связан с, собственно, выбором ядра 
который позволил:
- осуществить преобразования в аналитическом виде, вплоть до их заключительной части;
- определить
функцию 
при данных (4.1) из пространства 
путем предельного перехода в решении, полученном
для случая, когда 
В дополнение
к этому, ядро (4.13) имеет еще целый спектр позитивных свойств: замкнутость;
симметричность; непрерывность и положительная определенность; зависимость от
разности аргументов, а также ортогональность собственных функций оператора на интервалах как 
так и 
Перейдем
к вопросу, который связан с уравнением (4.40). При 
в (4.71) и (4.72) имеем (4.79),
соответственно уравнение (4.40) приобретает вид:
(5.12)
или же
(5.13)
что делает его весьма любопытным. Получается, вместо некорректной задачи в качестве
базового объекта исследования фактически выступает интегральное уравнение Фредгольма
второго рода, полученное, всего лишь, прибавлением к (4.1) искомой функции с
коэффициентом, совокупность допустимых значений которого практически не ограничена.
В самом
деле, при 
: 
параметр 
нетрудно выбрать так, чтобы решение однородного
уравнения (5.12), то есть
где
(5.14)
было тривиальным.
Заметим,
что при вычислении функции 
информация о данных задачи, содержащаяся в
претерпевает существенное видоизменение, в
котором участвуют ядро и свободный член уравнения (4.1). Одновременно следующий
этап выкладок, который состоит в определении 
переносится с на 
После
этого, то есть при вычислении коэффициентов Фурье функций 
и новой информации о данных
задачи не вносится. По существу, коэффициенты Фурье функции троекратно умножаются на соответствующие константы.
Вместе с тем, обратившись к системе уравнений (4.78), можно заметить, что зависимость
между коэффициентами Фурье функций 
и то есть соответственно
и 
имеет весьма содержательный
смысл, вследствие (4.70) и (4.74).
Если
функцию 
из (4.39) подставить в (5.12), то с учетом
(4.1) и (5.14) получаем
(5.15)
где
из чего можно сделать довольно интересные, как представляется, выводы:
1) Существует
интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ядром 
из (4.1) и параметром (5.14),
свободный член которого, за вычетом 
такой же как у полностью
идентичного уравнения относительно искомой функции 
При этом
где 
– решение также интегрального уравнения Фредгольма
второго рода (5.12).
2) И,
наоборот, функция 
удовлетворяющая (4.1), выражается из (5.15)
через решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода (4.36) и данные
задачи. Заметим, что в результате вычитания уравнений (4.36) и (5.15) функцию
можно представить интегрально зависящей от
3) При
уравнение (5.13) обращается в (4.1). Вместе
с тем, при другом значении параметра 
решение этого уравнения
– корректная задача и, как показано выше, через него с помощью устойчивой процедуры
численной реализации определяется Таким образом, уравнению (4.1) соответствует
множеству корректно поставленных задач, при критических значениях содержащегося
в них параметра.
Итак,
функции 
и в (4.39) взаимосвязаны
между собой посредством интегрального оператора Фредгольма (4.5). Как представляется,
обозначен существенный момент, вполне заслуживающий дальнейшей интерпретации.
Следующий
вопрос связан с возможностью реализации других способов определения функции
или же 
с помощью которых по формулам (4.28), (4.30)
находится решение задачи. Один из них наметим схематично: подстановка в (5.2)
из (4.30) и (4.40)
(5.16)
подстановка 
в (4.28); исключение из выражений (4.28) и (4.30).
Однако
при этом ядро интегрального уравнения, из которого определяется будет аналитически зависящим
от параметра 
вследствие чего возникают ненужные осложнения.
Суть в том, что, вообще говоря, подобные уравнения могут быть неразрешимыми
вне зависимости от значения параметра [6, с.130-132; 7]. В целом,
подход к решению задачи, связанный с использованием (5.16), представляется менее
эффективным.
Аналог
уравнения (4.52) можно построить и относительно функции 
Для этого в (5.2) следует подставить
из (4.39), где функция имеет вид (4.28), то есть
В результате
(5.17)
где 
сопоставление с (4.53),
учитывая (4.19), (4.21), показывает, что 
(5.18)
По сравнению
с алгоритмом п.4.4, в этом случае отпадает необходимость промежуточного определения
функции 
не дающая, впрочем, существенного упрощения
вычислений.
Заметим,
что если свободный член 
имеет разрывы или другие особенности, обусловленные
ядром 
то может оказаться желательным, чтобы он присутствовал
в решении явно. Для этого функцию следует выразить через с помощью уравнения (4.34). Что касается удовлетворения
уравнению (4.24), то оно осуществляется вследствие использования (4.31) при
построении уравнения (4.52).*
| * Этот вопрос, по существу, рассмотрен в п.4.5. |
Возвращаясь
в заключение настоящего подраздела к условию (4.3), обратим внимание на адаптивность
привязки к пространству 
а также логику ее практической
реализации. Предварительно, – основные факты об отображении (4.1) между и 
вне зависимости от предлагаемого
использования 
Итак,
область значений 
не является замкнутой, вследствие чего оператор
– не вполне непрерывный и обратный ему 
из 
в
– ограничен. Однако, в рамках традиционного
объекта исследования – (4.1) отсутствует возможность каким-то образом использовать
данное обстоятельство для построения оператора 
И вместе с тем, возникает следующая цепочка соображений:
-
объективно, ограниченный оператор
из существует, то есть решение уравнения (4.1)
в паре пространств 
– корректная задача;
-
свойство ограниченной обратимости
непосредственно ассоциируется с интегральным оператором Фредгольма второго рода,
в нашем случае 
-
внедрение в схему преобразований
тождественного оператора 
органично сочетается с моделированием погрешности
интегрирования, порождающей (в совокупности с первопричиной – незамкнутость
) некорректность задачи (4.1);
-
адаптация к пространству и функциональное представление погрешности,
таким образом, тесно взаимосвязаны;
-
незамкнутость никак не препятствует определению
функции из уравнения (5.12), через которую, как показано
выше, находится решение задачи – функция 
-
с этой точки зрения, уравнение,
(4.7), следующее из (4.4), (4.6), осуществляет сопряжение интегральных операторов
Фредгольма первого и второго рода через их общую область значений, создавая
серьезную предпосылку к решению задачи об определении функции удовлетворяющей (4.1),
в корректной постановке.
Обозначенная направленность будет развита в следующем подразделе.
