1.2. Гипотеза Ж.Адамара и некорректность “реальных” задач

Итак, Ж.Адамар и другие выдающиеся ученые полагали, что любая физически интерпретируемая задача может быть корректно поставлена, однако в современных изданиях доминирует совершенно противоположная точка зрения. В самом деле, заметно большая часть практически значимых задач, которые в них рассматриваются, - некорректны. Однако адекватна ли собственно методология математической постановки этих задач, а соответственно и результаты ее преломления к реалиям?

Здесь мы не станем углубляться в нечто вроде общих принципов построения дифференциальных уравнений и, вообще говоря, вначале вопрос целесообразно сузить: из каких соображений судят о том, что некорректно поставленная задача адекватно описывает наблюдаемое явление, или же потенциально реалистичный процесс? В этой связи обратимся к процедуре решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода

(1.6)

– классической некорректной задаче: ядро и свободный член – заданы; функция – подлежит восстановлению.

Пусть, для определенности, ядро k симметрично и замкнуто, то есть и его собственные функции , представляющие собой нетривиальные решения интегрального уравнения



с характеристическими числами образуют полную в ортогональную систему элементов. Кроме того, функция . В этом случае по теореме Пикара решение уравнения (1.6) существует и единственно при условии (см., например, [18])

(1.7)

Если предположить, что все перечисленные требования выполнены, остается третье условие корректности, которому, как известно [19, c.69], уравнение (1.6) заведомо не удовлетворяет. Многочисленные руководства наглядно иллюстрируют неадекватно сильное влияние на решение малых возмущений данных задачи, в первую очередь . Зачастую эта функция определяется экспериментально и рассогласована с ядром по гладкости, а, следовательно, уравнение (1.6), строго говоря, вообще утрачивает смысл. Вместе с тем возможность эквивалентного описания реальных задач посредством интегральных уравнений первого рода в настоящее время признана несомненной, о чем свидетельствует их колоссальный перечень [6].

Конкретизируем уравнение (1.6):

(1.8)

где m – целое положительное число.

При этом . Использование теоремы Мерсера [18], согласно которой

,

и представление в виде ряда по с неопределенными коэффициентами позволяет найти решение уравнения (1.6)

(1.9)

Но столь простой вычислительная процедура оказалась вследствие специального выбора данных задачи. В противном случае, или же при решении уравнения (1.6) с ядром и свободным членом (1.8) одним из численных методов, сложность реализации достаточно высокого приближения практически идентична наиболее общей ситуации, характеризующейся погрешностью определения и *.

Суть в том, что даже при объективной совместимости данных некорректность уравнения (1.6) обуславливается погрешностью аппроксимации f и k, а также округлением значащих цифр ЭВМ.

Основополагающий фактор некорректности уравнения (1.6) вытекает из сопоставления свободного члена (1.8) с решением (1.9). В самом деле, наращивая m, функцию можно сделать как угодно малой без изменения амплитудного значения . Соответственно та или иная погрешность вычислительных операций с проецируется на , имея множитель m². Механизм этого явления, связанный со сглаживанием информации об искомой функции процедурой интегрирования, будет неоднократно затронут в ходе последующего изложения.

Однако вернемся к сформулированному вопросу о сопряжении некорректной постановки с реальностью и в этой связи обратим внимание на следующее обстоятельство. Рассматривая (1.6) в качестве интегрального уравнения Фредгольма первого рода (функция y подлежит определению), мы подразумеваем решение обратной задачи (О). Но (1.6) можно использовать и для решения соответствующей прямой задачи (П): вычисление функции по данным и . Эта процедура корректна, а значит радикально проще задачи О. Достаточно заметить, что отсутствует принципиальное различие между сугубо численной реализацией и интегрированием выражений (1.8), (1.9) в аналитическом виде.

И здесь хотелось бы привлечь внимание к моменту, который представляется весьма существенным. Задача П, как правило, прозрачна – в ее категориях мы вполне естественно моделируем происходящие процессы и явления наглядными, что важно подчеркнуть, средствами линейной суперпозиции. Соответственно если, например, – характеристика среды, а – интенсивность внешнего воздействия, результат события в той или иной предметной области остается лишь элементарно просуммировать.

Ситуация с задачей О – диаметрально противоположна. Едва ли представляется возможным указать реальный процесс (явление), для которого ее удалось бы формулировать математически непосредственно из соображений предметной области. Иначе говоря, вне привязки к задаче П, наряду с чем общепринятой является трансформация последней в задачу О посредством механического переименования известных и неизвестных компонентов.

По нашему мнению, глубоко порочна методология, в рамках которой на основании вполне доброкачественной информации о конкретной задаче П делается утверждение об адекватности реалиям задачи О, полученной с помощью указанного переименования компонентов. Соответственно неосновательными следует считать суждения специалистов, отвергающих гипотезу Ж.Адамара о существовании корректных постановок задач математической физики.

Обратимся к задаче П, описывающей некоторый реальный процесс (1.6). Для него, конечно же, имеет смысл определение по данным и , то есть, постановка и решение соответствующей обратной задачи, которую обозначим через О¢. Предположим, что в рассматриваемом случае гипотеза Ж.Адамара верна и, следовательно, задача О¢ – корректна. Но задача О – решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода (1.6) некорректна по определению.

Вывод очевиден: математические постановки задач О и О¢ – нетождественны. Следовательно, постановка задачи О¢ не может ограничиваться лишь переадресацией статуса неизвестной между функциями f и y в задаче П. Заметим в этой связи, что конструктивная методология корректной постановки задачи О¢ является основным предметом, а также главной целью настоящего исследования.

Приведенные аргументы представляются достаточно вескими однако на данном этапе изложения мы не можем как доказать правомерность гипотезы Ж.Адамара в общем случае, так и проиллюстрировать ее конструктивизм применительно к отдельным классам задач. Следует также учесть, что, используя специальные приемы, решение некорректной задачи О зачастую удается получать с точностью, которая считается практически приемлемой. В связи с этим возникает вопрос: следует ли стремиться к корректной постановке О¢, если алгоритм вычисления функции в постановке задачи О так или иначе осуществляет ее регуляризацию? Имеется в виду хорошо известная деформация постановки О с использованием малого параметра, сообщающая ей свойства корректной разрешимости.

Итак, способен ли алгоритм в полной мере, включая эффективность численной реализации, нивелировать принципиальные осложнения, заложенные некорректностью задачи О вида (1.6)? Понятно, что ответ может быть только отрицательным – в противном случае утратила бы смысл прочно устоявшаяся дифференциация задач на корректно и некорректно поставленные. Более того, обозначенное различие является исключительно существенным, поскольку корректность постановки – критерий качественного уровня, что же касается эффективности метода решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода, то его можно измерять лишь в количественных показателях паллиативного свойства. Последнее обуславливается непосредственной взаимозависимостью между глубиной регуляризации и деформацией (искажением) задачи О.

Однако в чем собственно может выражаться разночтение постановок О и О¢? За ответом на этот вопрос основополагающая концепция предлагаемого подхода. В настоящем заметим лишь, что трансформация постановки О к О¢ будет иметь преимущественно качественный характер и реализоваться посредством нулевого в возмущения уравнения (1.6), моделирующего феномен сглаживания информации.