| |
|
|
|
3.1. Корректность постановки задач математической физики
3.2. Взаимосвязь с теоремой об обратном операторе
3.3. Методология решения некорректных задач
3.4. Методологические концепции вычислительной математики
3.5. Соображения по развитию конструктивной теории
Сформулированные Ж.Адамаром на рубеже начала ХХ столетия условия корректности (см. [1]), которые он затем настойчиво популяризировал, едва ли не в первую очередь привлекают неуклонно возрастающей актуальностью для практических приложений. Эти условия относятся к концептуальной основе математического моделирования физически содержательных задач, что по существу никем не оспаривается, и вместе с тем на современном этапе возобладало мнение о том, что положения Адамара – ошибочны.
Имеется в виду основополагающее утверждение о том, что из свойств существования и единственности решений, которые он считал объективно присущими математическим моделям реальных явлений, вытекает корректность постановки адекватных им краевых (начально-краевых) задач, подразумевающая устойчивость используемых алгоритмов численной реализации. Из этого, в частности, следует, что интегральное уравнение Фредгольма первого рода, попросту говоря, не годится для «употребления» в целях математического моделирования.
Естественный ход развития исследований, ставящих целью подтвердить, или же опровергнуть утверждение, постулат, гипотезу, а возможно – пророчество Адамара, казалось, должен был вестись с позиций вариативности постановок рассматриваемых задач, однако этого не произошло. По-видимому, главной причиной явилось формирование представлений об особой миссии вычислительных средств математического моделирования в системе естествознания, вследствие чего оказалось возможным легко пренебречь даже одним из основных принципов функционального анализа – теоремой Банаха об обратном операторе [2, 3, п.9; 4].
Трудно найти объяснение отсутствию в специальных источниках последовательно проводимого тезиса о необходимости конструктивного сопряжения постановок задач математической физики с алгоритмами их численной реализации. Корни сложившегося положения видятся в системной ориентации гигантского компьютерно-обеспечивающего комплекса на достижение коммерческого эффекта за счет высокой стоимости предоставляемых услуг.
В итоге критика позиции Адамара выстраивается альтернативной школой А.Н.Тихонова по схеме:
- решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода
 |
(3.1) |
в общем случае, является некорректной задачей (что неоспоримо);
- интегральные уравнения такого типа адекватны множеству
реальных явлений, в подтверждение чего фактически предъявляется вполне прозрачная
интерпретация соответствующих прямых задач (вычисление 
по
данным 
и
).
Однако на каком основании постановка задачи, обратной вычислению 
может производиться путем всего лишь механического переименования в (3.1)
данной и искомой функций? Из того, что при данных 
и 
процедура восстановления функции 
является вычислительно некорректной, – ровным счетом ничего большее не следует.
Упреки в адрес Адамара, характерные моменты которых воспроизведены в п.1.1, интегративно выражают позицию: великий ученый затормозил развитие науки, не признав адекватность некорректно поставленных задач реалиям наблюдаемых процессов (см. [3, 4, 5]). Действительно, в сформулированных Адамаром принципах постановки задач нет места некорректности, но это совсем не означает их неправомерность. Если Адамар привел в подтверждение своей концепции убедительные доводы и, можно сказать, опирался на постулаты математической религии, то «некорректная наука» никак не аргументировала саму оправданность своего существования.
Среди приверженцев исследования задач математической физики исключительно в корректной постановке такие имена как А.Пуанкаре, Д.Гильберт, В.А.Стеклов, И.Г.Петровский, И.Пригожин [6, 7, 8, 9, 10]. Наряду с этим едва ли позитивную роль сыграло введение Д.Гильбертом и Р.Курантом [11] трех независимых условий корректности: существование, единственность и непрерывная зависимость решения от данных задачи.
Потенциал того обстоятельства, что третье из них является следствием предыдущих,
– мог бы способствовать активизации исследований, связанных с корректной постановкой
задач математической физики. Рассматривая интегральное уравнение Фредгольма
первого рода (3.1), пришлось
бы внимательнее отнестись к возможности осуществления соответствующих преобразований
c 
в противовес, образно выражаясь, суррогату непрерывной обратимости при использовании
параметра регуляризации 
Отмеченная следственность третьего условия корректности вытекает из теоремы
Банаха об обратном операторе [12],
весьма оптимистичный смысл которой, состоит в следующем. Если решение уравнения
(3.1) с 
и 
где 
– банаховы пространства, существует и единственно, то обратный оператор 
из 
в 
– ограничен (см. п.1.3).
Соответственно процедура вычисления функции
 |
(3.2) |
(формула вытекает из теоремы Гильберта-Шмидта [13]),
удовлетворяющей уравнению (3.1)
в 
должна быть устойчивой к малым возмущениям 
и
при условии 
Далее предполагается, что такая функция существует, ядро
симметрично и замкнуто; использованы обозначения пп. 1.2, 1.4. Так, 
– гильбертово пространство функций, нормированных согласно (1.7).
Следует отметить, что свойства интегрального уравнения Фредгольма первого
рода с симметричным ядром несложно перенести на случай, когда
является произвольной функцией из пространства 
[13, с.188-194].
Однако, как выполнение при проведении вычислений, так и проверка условия
– практически неосуществимы, вследствие чего подобные пространства считают «неудобными»
(см. [14, 15]).
Налицо принципиальная дилемма в выборе методологии исследования:
- стремление к преодолению затруднений, обусловленных
использованием пространства 
в
привязке к ограниченности оператора 
- утрата данного свойства, взамен на возможность постановки и решения задач в «удобных» пространствах.
С началом широкомасштабного внедрения в математическое моделирование численных методов, второе из обозначенных направлений стало доминирующим.
Показательна динамика взглядов С.Г.Михлина, нашедшая отражение в его курсах
по математической физике и теории погрешностей 1968, 1977, 1988 гг. [16,
17, 18].
Вначале автор рассматривает уравнение (3.1)
в традиционном предположении о том, что оператор 
– вполне непрерывен. При этом обратный оператор
– неограничен, вследствие чего в обычном смысле задача неразрешима и следует
обращаться к методологии А.Н.Тихонова.
В дальнейшем Михлин привлек внимание к тому, что если интегральное уравнение
Фредгольма первого рода (3.1)
трактовать с позиций отображения из пространства
в 
то оператор
перестает быть вполне непрерывным, оператор
– ограничен, и задача определения функции
становится корректной. Одновременно воссоздается целостность условий корректности,
третье из которых автором изначально выделялось.
Итак, использование пары пространств 
– как
бы переносит классическую некорректно поставленную задачу в русло фундаментальных
основ функционального анализа. Обращает внимание тот факт, что Михлин не снизил
значимость своих соображений доводами об «удобных – неудобных», или же «хороших»
и «плохих» пространствах.
Такая позиция, вероятно, встретила критику и в своей заключительной монографии Михлин раздраженно переадресует постановку задач математической физики прикладникам, которые заинтересованы в их разрешении, включая социологов. Одновременно он счел целесообразным не рассматривать бесконечномерные модели с характерной для них некорректностью.
Известно мнение А.М.Ляпунова о том, что, будучи сформулирована в рамках исходных предпосылок, задача механики или физики должна решаться затем строгими методами. При этом имеется в виду задача, «…которая поставлена совершенно определенно с точки зрения математики» [19, с.26]. То есть, надо понимать, – поставленная корректно.
Вместе с тем, почему бы собственно процедуру постановки задач математического моделирования не рассматривать в качестве средства повышения эффективности аппарата их численной реализации? Более того, не сообщают ли жестко детерминированные формулировки задач искусственные осложнения вычислительного свойства в условиях, когда из физических соображений допустимо малое, в некотором смысле, видоизменение? Как представляется, постановка задачи и алгоритм ее численной реализации представляют собой существенно взаимозависимые категории.
Некорректно поставленные задачи математической физики обманчиво прозрачны с точки зрения интерпретации исследуемых процессов и явлений, что обуславливается их адекватностью, на самом деле, пространствам, которые в вычислительном отношении практически нереализуемы. Если же данные таких задач определены в естественных для них классах функций, соответствующие постановки утрачивают математический смысл, вследствие своей неразрешимости.
В столь нетривиальной ситуации, конечно же, исключительно значима роль общеметодологических концепций, иначе говоря, необходимо руководствоваться какой-то системой глобальных принципов. Исходя из этого, если утверждение Адамара о необходимости корректной постановки задач, описывающих физические явления [1], еще можно считать своего рода гипотезой, то по существу родственная ему теорема Банаха об обратном операторе – общепризнанный компонент фундамента математической науки [20].
Тем не менее, появилось понятие корректности по Тихонову, обыгрывающее вариант поиска решения задачи (3.1) в суженном классе функций, [14]. Общие рекомендации в отношении установления такого класса, на основании информации содержательного плана, не разработаны.
Зыбкость концептуальной основы обрекла на провал идею осуществления предельного
перехода по малому параметру в решении семейства задач, имитирующих некорректно
поставленную (метод регуляризации [2]).
Причина, очевидно, во все той же неадекватности использования функциональных
пространств. Если
характеризуется совокупностью бесконечного набора признаков, и при этом зависящих
от оператора
(суперпозиция произведений квадратов значений, состоящих из характеристических
чисел и интегралов от свободного члена и собственных функций), а
– всего одним (интеграл от квадрата функции), то можно ли, даже из сугубо эвристических
соображений, надеяться на преодоление столь кардинального несоответствия с помощью
параметра регуляризации 
?
Положение, сложившееся в сфере деятельности многочисленных последователей
А.Н.Тихонова, представляется весьма неприглядным. Фактически, усилия сконцентрированы
вокруг математического объекта с малым множителем 
образованного на основе (3.1):
 |
(3.3) |
который именуется
интегральным уравнением Фредгольма второго рода, без упоминаний о его в этом
смысле неполноценности. Несмотря на огромный поток исследований, посвященных
определению параметра регуляризации
– конструктивные алгоритмы отсутствуют. Главная причина видится в несостоятельности
идеи, подразумевающей возможность эффективного согласования решений с данными
некорректно поставленных задач (см. [2,
21, 22]).
По существу, приходится довольствоваться всего лишь сопоставлением решений
уравнения (3.3), получаемых
в диапазоне уменьшения
Можно предположить, что в связи с высокой затратностью численной реализации
при малых значениях
внедрение методологии Тихонова в практику разработок нанесло большой экономический
ущерб. Что касается попыток исследования интегрального уравнения Фредгольма
первого рода в функциональных пространствах его корректной разрешимости, то
они носили единичный характер и не сопровождались конструктивным воплощением
[23].
В.М.Фридман, о работах [24, 25] которого говорилось в п.2.3, подошел к решению уравнения (3.1), безотносительно его приемлемости для моделирования реальных явлений. С позиций настоящего изложения, итерационные алгоритмы Фридмана интересны достижением, как представляется, максимально возможной результативности в рамках выбранного объекта исследования, о чем косвенно свидетельствуют их простота и лаконичность. Иначе говоря, добиться чего-то большего от уравнения (3.1) – едва ли возможно. Несмотря на формально существующую сходимость, с приближением к решению определяемые поправки становятся на фоне значений искомой функции малыми:
Без своевременного останова такой процедуры, вычислительный «шум» от операций
с отличающимися на порядки числами способен радикально исказить решение [5,
15]. Становится очевидным,
что в силу своей природы интегральное уравнение Фредгольма первого рода содержит
дефект, принципиально не согласующийся с содержательной постановкой задачи об
определении функции
по ядру и свободному члену (3.1).
В п.2.5 приведено соображение К.И.Бабенко [26]
о необходимости учитывать фактор потери информации при оценке сравнительной
эффективности вычислительных алгоритмов. Как представляется, в еще большей мере
это следует делать на этапе постановки задачи. Поскольку при вычислении
по формуле (3.1) информация
о
объективно сглаживается, восстановление этой функции в рамках традиционного
подхода вполне закономерно сводится к решению некорректной задачи.
Если гипотетически предположить, что для определения функции 
удовлетворяющей уравнению (3.1),
окажется возможным использовать некоторое другое уравнение, содержащее ее не
только под интегралом, но и в явном виде, – все проблемы снимаются. Такое вхождение
можно представить в контексте моделирования погрешности вычислений, с участием
также и интегральной компоненты (в сумме дающих «нуль»).
Предобусловленный метод сопряженных градиентов рассматривают в качестве одного из наиболее эффективных для решения больших плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, которые возникают при дискретизации задач математической физики [27]. Невырожденная матрица – предобусловливатель позволяет сводить процедуру численной реализации к последовательности алгебраических задач со сколь угодно благоприятными свойствами, однако в противовес возрастает количество необходимых итераций и трудоемкость промежуточных вычислений (п.2.7).
Одной из ключевых проблем вычислительной математики является выработка концептуальных основ, касающихся зависимости между представлением данных и эффективностью реализации алгоритмов. В этой связи, как весьма пессимистичные можно охарактеризовать воззрения К.И.Бабенко [26], всецело базирующиеся на количественной трактовке понятия информации. Действительно, едва ли не все алгоритмы указанного руководства сопровождаются «колоссальной» потерей информации, а редкие исключения отвечают лишь специальному представлению исходных таблиц, что на практике, как правило, не реализуется.
Альтернативна позиция Р.В.Хемминга [28], которого можно охарактеризовать как прямого продолжателя идей Адамара в области вычислительной математики. По его мнению, методы численной реализации должны адаптироваться к имеющейся информации, что же касается принципиальных осложнений, таких как некорректность постановки, то основное внимание необходимо сосредоточить на видоизменении математических моделей. Весьма привлекательно также соображение Р.Беллмана и С.Дрейфуса о целесообразности оценки качества информации на основании показателей эффективности ее использования [29].
О.М.Белоцерковский и В.В.Щенников [30] выступили с заявлением о кризисе в сфере математического моделирования, обусловленном сложностью как постановок задач, выдвигаемых практикой, так и – аппарата их численной реализации (п.2.8). В качестве причины указана неприспособленность методов «домашинной» математики к ситуациям, когда вследствие накопления погрешности округлений фактически любой алгоритм становится вычислительно некорректным. В конструктивном отношении, авторы предложили более целенаправленно развивать подходы в стиле Тихонова, никак не упомянув альтернативный вариант – согласование постановок задач с теоремой Банаха об обратном операторе.
Обратим внимание, поколения специалистов в различных областях математического моделирования воспитывались под лозунгами типа – «все реальные задачи механики сплошной среды плохо обусловлены», которые, без каких-либо обоснований, назойливо повторялись «мэтрами» на заседаниях различного рода симпозиумов. Итогом явилось внедрение на фольклорном уровне тезиса, подкрепленного всего лишь сформировавшейся практикой осуществления научно-исследовательской деятельности.
Флагманом отмеченной идеологии можно назвать Н.Н.Яненко, который, в отличие от ряда коллег, хорошо осознавал потери математического моделирования из-за разрыва аппарата численной реализации с основами функционального анализа. Однако первостепенным он считал принципиальное расхождение между классической и вычислительной математикой, состоящее в том, что первая из них оперирует с абстрактной символикой без потери информации, тогда как объектами второй являются числовые массивы, преобразования которых происходят с погрешностью (см. [3, 31]).
Аргументация работ Яненко методологической направленности позволяет предположить, что определенную роль при формировании его взглядов сыграли также и амбициозные мотивы сопричастности к становлению «новой» математики, которая, частично используя «старую», в целом ее существенно превосходит. Гротесковое выражение такой позиции содержат материалы монографий [21, 32], выдержки из которых приведены в п.2.8.
Представляется, что налицо извращение существа проблемы, поскольку теорема Банаха об обратном операторе – субстанция более высокого уровня, нежели операции с числами и, вместе с тем, именно для них наиболее важная. В самом деле, ограниченность обратного оператора дает практически единственную возможность предотвратить как неадекватную зависимость решения от данных задачи, так и накопление погрешности вычислений.
Итак, считаем, что ядро
интегрального уравнения Фредгольма первого рода (3.1)
симметрично, замкнуто и функция
удовлетворяющая ему в
существует. Соответственно 
то есть выполняется условие [13]:
 |
(3.4) |
где 
– характеристические числа и собственные функции ядра 
Заметим также, что система элементов 
полна в 
или же пространстве
[33, с.69].
В таком случае оператор 
осуществляющий отображение из пространства
в
– ограничен (теорема Банаха). Получается, определение функции
по формуле (3.2) можно
произвести без накопления погрешности?
С этой точки зрения, «Обратимый мир Банаха» исключительно заманчив, однако
в нем отсутствует какая-либо дифференциация используемых пространств по предпочтительности.
Они определяются содержанием задачи, то есть оператором 
Главенствующие
тенденции в сфере вычислительной математики – сугубо альтернативны, из-за чего
как явно, так и, преимущественно, исподволь проводится тезис о фактической бесполезности
теоремы Банаха об обратном операторе.
На первый взгляд, для этого имеются веские основания. Действительно, малость
возмущения данных, а также и погрешности, допускаемой при проведении вычислительных
операций, подразумевается в 
Однако практическая возможность для выполнения такого условия – отсутствует.
Пространство
как бы иллюзорно, поскольку оперирует с бесконечной совокупностью признаков
данных задачи, становящихся при больших значениях 
в (3.2) по существу – неидентифицируемыми.
Можно заметить также, что уравнение (3.1)
является в определенном смысле – нелинейным. В самом деле, представим интегрируемую
по формуле (3.1) функцию
Соответственно
и каждое из этих уравнений разрешимо в смысле выполнения условия вида (3.4).
Однако функцию 
можно
представить суммой бесконечного набора слагаемых. Если предположить, что уравнения
где 
при произвольном разделении
на 
и 
– разрешимы, приходим к противоречию. Действительно, решение уравнения (3.1)
– единственно и условие вида (3.4)
выполняется лишь для 
Таким образом, принцип линейной суперпозиции в отношении свободного члена
уравнения (3.1) не работает.* Данное обстоятельство
обуславливается незамкнутостью области значений оператора 
о которой упоминалось в п.1.3.
В общем, получается, что теоретическая принадлежность
функции
пространству
– реально ничего не дает. Вместе с тем, подобный вывод не может служить основанием
для игнорирования пространства
при рассмотрении задачи (3.1).
Как представляется, конструктивизм здесь возможен исключительно в контексте
согласования, вообще говоря, альтернативных устремлений:
- функция используемая
при проведении вычислений, принадлежит пространству 
- оператор осуществляет
отображение из в
пространство
Мотивация очевидна, – сохранить потенциал непрерывной обратимости оператора
в целях его практической реализации. Вместе с тем обозначенное противоречие
налицо и преодолеть его, ограничиваясь исключительно рамками интегрального уравнения
Фредгольма первого рода (3.1),
не представляется возможным. В подобной ситуации естественно обратиться к, образно
выражаясь, происхождению данного уравнения, то есть – к постановке задачи.
Итак, имеется явление, описываемое оператором
Прямая задача состоит в вычислении интеграла по формуле (3.1)
при подстановке в нее функции 
Такая процедура обладает множеством интерпретаций и математически корректна.
Ключевой момент – формулировка обратной задачи для того же оператора 
которая сопряжена с восстановлением функции
по реализации упомянутого интегрирования, то есть – 
Соответственно подразумевается определение причины по следствию, и если постановка
прямой задачи наглядна, то в отношении обратной ситуация – прямо противоположная.
При ее разрешении приоритетной становится собственно алгоритмическая процедура
(на базе адекватной математической модели), не являющаяся аналогом процесса,
проистекающего в режиме реального времени.*
Как в свете изложенного не обратиться к утверждению Адамара о том, что все
задачи, имеющие практическое истолкование, допускают
математически корректную постановку? Исходя из этого, поскольку функция
в (3.1) объективно существует,
задачу ее определения следует всего лишь адекватно сформулировать. Вместе с
тем, Адамар не привел соответствующих рекомендаций практического характера,
и, как уже отмечалось, его методология оказалась фактически отвергнутой.
Однако попытаемся наметить постановку задачи, обратной вычислению интеграла (3.1), которое в общем случае производится с некоторой погрешностью:
 |
(3.5) |
В прямой постановке ее учет не имеет принципиального значения, однако, решения
интегральных уравнений Фредгольма первого рода (3.1)
и (3.5) могут оказаться
совершенно разными. При этом ставить вопрос о какой-либо количественной оценке
– бессмысленно. Можно считать лишь, что по сравнению со значениями функций
и
погрешность
является малой.
Из общих соображений, присутствие в (3.5)
повышает потенциал постановки обратной задачи, наряду с чем, возникает вопрос
о функциональном представлении погрешности. В этой связи следует принять во
внимание, что механизм ее генерации обуславливается фактором сглаживания
процедурой интегрирования, а значит, структура
должна отражать данное обстоятельство.
В ракурсе сказанного, воспользуемся операторной моделью погрешности вида
 |
(3.6) |
где
– тождественный
оператор; 
– некоторый
интегральный оператор; 
и 
– параметры.
Итак, вместо уравнения (3.1) предлагается иметь дело со следующей задачей:
 |
(3.7) |
преследуя
целью сведение ее к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Параметр
как
и при
обращении оператора 
предназначен
для того, чтобы это уравнение не располагалось на спектре, что эквивалентно существованию
и единственности его решения.
Обратим внимание, к свободному члену уравнения (3.1)
всего лишь прибавлена функция, представляющая «нуль». Вместе с тем, переход
от некорректной задачи (3.1)
к постановке (3.6) создает
предпосылки для кардинального изменения ситуации. От 
вообще говоря, можно потребовать адаптивной компенсации погрешности вычислительных
операций, выводящих
из пространства
вследствие чего появляется перспектива реализации ограниченного оператора 
В самом деле, при 
негативный фактор некорректности уравнения (3.1)
– нивелируется.
Предположим, что оператор
из (3.6), при котором 
в пространствах 
или 
окажется возможным представить в виде
с наложением на ядро
определенных условий. В таком случае задача (3.7)
становится следующей:
 |
(3.8) |
 |
(3.9) |
Таким образом, равенство нулю
эквивалентное уравнению (3.9),
предполагается удовлетворить с помощью
на 
– новой неизвестной функции.
Бытует суждение будто бы перспективы получения весомых результатов с помощью простых преобразований математических зависимостей – невелики. В самом деле, применив к уравнениям (3.8), (3.9) операцию вычитания, вновь получим исходную задачу (3.1), которая некорректна. Однако, во-первых, мы не собираемся этого делать и, во-вторых, за интегральными уравнениями с искомой функцией в явном виде интуитивно ощутим конструктивный потенциал.
С этой точки зрения, весьма знаменательным можно назвать «несрабатывание»
примера, иллюстрирующего сглаживание информации о функции
процедурой интегрирования (3.1),
который приведен в целом ряде изданий. Действительно, предполагая, что функция
удовлетворяющая системе уравнений (3.8),
(3.9), известна, сообщим
ей возмущение вида 
Подстановка в (3.7) показывает,
что на свободный член
оно будет влиять как с понижающим коэффициентом (сглаживание), так и без него
– за счет соответственно интегральной компоненты и функции
в явном виде.
Сказанное не распространяется на 
однако
определение этой функции выходит за рамки рассматриваемой задачи. Подчеркнем,
что последние соображения – исключительно наводящего характера.
С позиций практической реализации изложенного, весьма существенной представляется
взаимосвязь пространств 
а также и
Как известно, в паре пространств
и 
она – теснейшая. Теорема Рисса-Фишера [34]
устанавливает взаимнооднозначное, непрерывное и линейное соответствие между
функциями из
и числовыми последовательностями 
со сходящейся суммой квадратов. То есть, всегда существует
-функция, для которой
является
рядом Фурье по системе ортонормированных элементов 
Однако между пространствами
и
а соответственно и
также наблюдается весьма интересная зависимость. Действительно, (3.2)
представляет собой ряд Фурье по ортонормированным элементам 
условием сходимости которого является (3.4).
Если предположить, что 
где 
то при 
пространство
превращается в 
Вместе с тем, ядро
в (3.1) обладает характеристическими
числами, которые ему объективно присущи, и, следовательно, использоваться для
такого превращения не может. Но появилось не зависящее от данных задачи ядро
а с ним и перспектива реализации намеченного замысла. Ниже вокруг этого момента
будет сосредоточена значительная часть всего изложения.
В заключение настоящего раздела хотелось бы отметить спорность распространенного мнения о необходимости формулировки задач математического моделирования специалистами-прикладниками соответствующего профиля, тогда как предназначение математиков состоит в проведении строгих аналитических исследований, разработке вычислительных методов и участии в их реализации.
Как представляется, прикладники должны заниматься постановкой прямых и в целом корректных задач. Фактор некорректности тесно взаимосвязан с процедурой численной реализации, вследствие чего уделом математиков является приведение постановок задач, описывающих изучаемые процессы и явления, к условиям применимости теоремы Банаха об обратном операторе.
