ВВЕДЕНИЕ

Вначале следует пояснить название работы и, в первую очередь, смысл используемых понятий. В этой связи предположим наличие информации, позволяющей сформулировать математическую модель некоторого явления. Соответственно подразумевается определение неизвестных функций по данным задачи. Если зависимость решения от них в норме выбранного пространства непрерывна, то, как правило, такая задача относится к сфере анализа, или же ее постановка является прямой.

Однако исследование конкретного явления во всей совокупности определяющих его факторов, с целью получения в итоге качественно новой информации (синтез знаний), предусматривает также и реализацию соответствующей задачи в обратной постановке, то есть восстановление части данных по гипотетически известному решению. Иначе говоря, – причины по следствию, что принято отождествлять с необходимостью разрешения некорректно поставленной задачи.

Цель настоящего исследования состоит в обосновании неправомерности такого мнения и, напротив, конструктивном воплощении утверждения Ж.Адамара о существовании корректных постановок задач, адекватно описывающих реалистичные процессы и явления. Заметим, что расхождение между последними из указанных понятий, при их упоминании в тексте, с позиций производимых выкладок не столь принципиально и все же «процесс» несколько акцентирует временной фактор.

В центре внимания вполне закономерный, как представляется, вопрос, который целесообразно сформулировать на примере вычисления интеграла

                                  (1)

то есть, – определения функции  по данным  и  (из пространства ). Этой процедуре нетрудно поставить в соответствие множество физических, а также иных интерпретаций; ее реализация, во всяком случае когда подынтегральное выражение ограничено, не вызывает затруднений.

С другой стороны, если ядро  которое предполагается замкнутым, и функция  предварительно вычисленная по формуле (1), – даны, то функция  – объективно существует и единственна. Итак, вопрос: правомерно ли восстанавливать  посредством решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода (1), всего лишь переименовав известный и неизвестный компоненты в постановке прямой задачи. То есть, полагая, что функция  – дана, а  – подлежит определению. И вообще, на основании чего математические представления прямой и обратной ей задачи  должны выглядеть совершенно идентичными?

Вызывает возражение собственно факт механического переименования известных и неизвестных функций без внесения каких-либо дополнительных корректив. Итак, выдвигается тезис о том, что адекватный подход к постановке обратных задач, отличен от подхода, ставшего общепринятым. Такая позиция обусловила присутствие в названии работы понятия методологии.

По существу, мы надеемся изыскать резервы синтеза всего комплекса знаний о явлении, исследуя его с разных сторон в постановках, математические представления которых – нетождественны. Если вычисление  формула (1) в полной мере олицетворяет, то восстановление функции  совсем не обязательно состоит в разрешении интегрального уравнения Фредгольма первого рода, которое является некорректной задачей.

Но если имеется альтернатива упомянутому переименованию известных и неизвестных компонентов, можно предположить, что соответствующие постановки обратных задач будут обладать гораздо более привлекательными в вычислительном отношении свойствами. С этой точки зрения, доводы Адамара приобретают вполне конкретный смысл, стимулируя поиск корректных, и одновременно отвечающих существу рассматриваемых явлений, постановок задач математической физики. Реализация обозначенной направленности видится возможной в контексте следующих соображений.

Причины осложнений, связанных с решением некорректных, а по существу не имеющих математического смысла задач, в принципе хорошо осознаны. В интегральном уравнении Фредгольма первого рода (1) имеет место несогласованность между функцией  и решением соответствующей прямой задачи (результат интегрирования), которая обуславливается, погрешностью определения данных, а также округлением цифр при проведении арифметических операций. Иначе говоря,  изначально не принадлежит области значений оператора  или же выходит из нее в процессе вычислений.

Вследствие сказанного, значительное внимание уделяется феномену (как его иногда называют) сглаживания информации о функциях при их интегрировании. Вместе с тем данные задачи, то есть свободный член  а также и ядро  зачастую определяются экспериментально, из-за чего в уравнение (1) заведомо вносится существенная погрешность. В этой связи можно отметить доминирование методологии А.Н.Тихонова, которая исходит из объективной некорректности постановок большинства актуальных задач математического моделирования.

Возникает достаточно очевидный, как представляется, вопрос: почему бы не только иметь в виду на уровне объяснения причин вычислительных недоразумений, но и практически учитывать упомянутую погрешность при формулировке задач? Можно предположить, что адекватное моделирование  погрешности будет способствовать корректной постановке обратных задач.

Здесь адекватность подразумевает, прежде всего, функциональную структуру представления погрешности, в связи с чем, обратимся к процедуре интегрирования (1). Из общих соображений, потерю информации о функции  при вычислении   логично изобразить в виде

                               (2)

При этом к функции  ядру  и параметру  предъявляется требование реализации условия

                                                                                          (3)

в пространствах  или  для  из достаточно представительного класса.

Заметим, что в сопоставлении со значениями искомой и данных функций рассматриваемая погрешность действительно является малой. Поэтому в случае построения устойчивого алгоритма вычисления  ее исключение условием (3) не должно оказать на решение существенного влияния.

Структура погрешности (2) при условии (3) олицетворяет разность между подлежащей интегрированию функцией  и приближающим ее выражением, которое, в свою очередь, является результатом выполнения аналогичной процедуры. Следует подчеркнуть отсутствие каких-либо априорных предпосылок самодостаточности (2) для достижения преследуемой цели, а именно – корректной постановки задачи об определении функции  по данным (1).

По существу, выдвинута гипотеза как о приоритетности качественной стороны феномена сглаживания информации при моделировании погрешности интегрирования, так и в целом – целесообразности предлагаемых «мероприятий» для осуществления корректной постановки задачи, которая являлась бы обратной процедуре (1).

На основании (2) и (3), вместо некорректной задачи (1) для определения функции  будет использоваться система уравнений:

                   (4)

где  – параметр, аналогичный

Разработаны два варианта решения сформулированной задачи. С помощью первого из них, коэффициенты Фурье функции   представлены в квадратурах через данные задачи посредством решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода, имеющего весьма благоприятные свойства. Подразумевается отсутствие особенностей, или же осцилляций ядра, не обусловленных  (то есть таких, которые навязывал бы применяемый алгоритм), а также – малого множителя при искомой функции  в явном виде.

Во втором варианте, – вычислительная процедура сводится к последовательному решению двух интегральных уравнений Фредгольма второго рода: упомянутого выше и отличающегося от него только видом свободного члена. Показана также возможность определения функции  с использованием решения лишь первого из этих уравнений.

Основой результативности произведенных преобразований явились следующие факторы:

1)       Не вполне непрерывное возмущение оператора  в сочетании, конечно, с условием (3), приведшее к получению вместо (1) системы уравнений (4).

2)       Распространение (4) на  позволившее воспользоваться характерной особенностью решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода

                                 (5)

где  – неопределенная функция, которая обусловлена видом его свободного члена.

3)       Использование  уравнения – аналога (5), имеющего такое же решение, на  и свободный член, обращающийся в нуль на другой части интервала определения,

4)       Выбор ядра  так, чтобы путем линейной замены переменных оно превращалось в каноническое ядро Пуассона, с параметром  давший возможность:

-  определить функцию  в виде выражения, явно зависящего от  для случая, когда она гармоническая;

-  с помощью предельного перехода  выразить ядро и свободный член упомянутого выше интегрального уравнения Фредгольма второго рода через данные (1);

- расширить, вследствие этого, класс возможной принадлежности функции  до всего пространства  (первый вариант решения задачи).

5) Рассмотрение функции  удовлетворяющей уравнению (1), в качестве – обобщенной, вследствие чего процедура удовлетворения условию (3) существенно упростилась (второй вариант решения задачи). Одновременно отпала необходимость в использовании предельного перехода по параметру

Цель работы можно пояснить также на следующем примере. Имеется балка (стержень) с опорами на краях, находящаяся под воздействием поперечной нагрузки; требуется найти ее прогиб (в линейной интерпретации). Соответственно, если воспользоваться обозначениями (1):

-  – прогиб в сечении с координатой  от единичной силы, приложенной в сечении с координатой

-   – интенсивность распределенной нагрузки;

-   – прогиб,

определением которого с помощью интегрирования по формуле (1) успешно занимаются студенты младших курсов на занятиях по сопротивлению материалов.

Однако прогиб балки есть, его можно замерить, и нагрузка реально существует. Поэтому совершенно оправдана постановка задачи – обратной, которая состоит в определении  по заданным  и  Такая задача считается несопоставимо более высокой категории сложности и соответственно попытками ее разрешения занимаются уже совсем не студенты, а ученые и, в частности, их преподаватели. При этом используется интегральное уравнение Фредгольма первого рода (1), решение которого, на самом деле, нереализуемо и даже получение подразумеваемого под ним паллиатива требует приложения больших усилий.

Вместе с тем резонно предположить, что затруднения из-за того, что задача плохо поставлена, о чем говорилось выше. Действительно, существует, напротив, исключительно удобный с точки зрения численной реализации математический объект, а именно – интегральное уравнение Фредгольма второго рода, которое представим в виде

                                    (6)

где ядро  и свободный член  являются данными; функция  (интенсивность нагрузки) – подлежит определению;  – параметр, выбираемый из условия разрешимости.

Но возникает вопрос, на каком основании функция  если она та же, которая в (1), этому уравнению удовлетворяет, а также что представляют собой  и ? С другой стороны, если функцию  предположить известной и задать ядро  пусть даже произвольным из пространства  всегда найдется свободный член  позволяющий удовлетворить уравнение (6). Следовательно, интегральное уравнение Фредгольма второго рода, которому удовлетворяет искомая функция  объективно существует.*

И, более того, количество таких уравнений – не ограничено.

Построение уравнения (6), которому одновременно с уравнением (1) удовлетворяет функция  собственно и является целью работы. Иначе говоря, она посвящена выстраиванию свободного члена  в зависимости от данных (1) так, чтобы функция  и решение уравнения (6) совпадали. Таким образом, уравнение (6) представляет собой корректную постановку задачи об определении функции  удовлетворяющей уравнению (1).

Однако к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода весьма просто сводятся широкие классы линейных краевых и начально-краевых задач математической физики. Для этого, рассматривая, например, задачу, описываемую уравнением Лапласа, следует принять  (или  где  – постоянная).

Путем интегрирования по  функция  и ее производная  выражаются через  Интегрирование дифференциального уравнения по  позволяет получить второе представление  через  Одномерные функции интегрирования в этих представлениях выражаются через  при удовлетворении граничных условий. Исключение  из представлений решения приводит к двумерному интегральному уравнению Фредгольма первого рода относительно функции

Намеченная схема сведения практически индифферентна к типу и порядку дифференциальных операторов, наличию переменных коэффициентов, конфигурации границ области определения и ряду других факторов, как правило, осложняющих реализацию вычислительных алгоритмов. Оговоренный выше метод решения задачи (1) непосредственно распространяется на определение функции  (переменная  выступает как параметр). В этой связи возникает также интересная возможность проверки на разрешимость задач математического моделирования, которые представлены уравнениями с частными производными.

Быть может, некоторый интерес представит мотивация настоящего исследования. Причиной явилось недоумение, возникшее из-за отсутствия в
специальных источниках внятного толкования, собственно, универсальности обозначенного приема сведения задач математической физики к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Погружение всего сонмища исходной информации в их ядра представляется, все же, весьма привлекательным. В самом деле, по существу стирается сложившееся ранжирование классов задач по трудоемкости их численной реализации, и на передний план выходит разработка эффективного метода определения функций, удовлетворяющих уравнениям указанного типа.

В первом разделе рассмотрена проблематика, связанная с представлениями Адамара о корректной постановке задач математической физики. Освещены коррелирующие и альтернативные позиции известных ученых. Обсуждается также теорема Банаха об обратном операторе, тесно взаимосвязанная с методологией корректности по своему содержанию. Приведены доводы в пользу того, что математические формулировки прямой и обратной ей задачи не должны являться тождественными.

Второй раздел содержит аналитический обзор методологических подходов и методов решения некорректных задач (главным образом, это интегральные уравнения Фредгольма первого рода), связанных с концепциями А.Н.Тихонова и В.М.Фридмана. Отмечены некоторые мнения специалистов в отношении рационального использования цифровой информации и приоритетах развития вычислительной математики в целом.

Материал третьего раздела как бы преломляет принципиальные осложнения, возникающие при решении некорректных задач, сквозь призму фундаментальных положений Адамара и Банаха. Приведены соображения о несостоятельности методологии решения задач в некорректной постановке. Изложены предпосылки корректной постановки задачи об определении функции, удовлетворяющей интегральному уравнению Фредгольма первого рода.

Четвертый раздел посвящен разработке метода сведения задач, которые принято отождествлять с интегральными уравнениями Фредгольма первого рода, к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода, и является в конструктивном отношении – базовым. Именно здесь последовательно выстроен алгоритм, практически реализующий основные факторы обеспечения результативности выкладок, которые были указаны выше. Изложен первый вариант решения задачи.

В пятом разделе акцентированы основные моменты произведенных выкладок, а также исследованы возможности их некоторой вариативности; содержится трактовка алгоритма предыдущего раздела с обобщающих позиций. Далее, изложен второй вариант решения рассматриваемой задачи. Сформулирована ее корректная постановка в категориях интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Материал шестого раздела иллюстрирует универсальность способа сведения линейных краевых и начально-краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Показано как предлагаемый алгоритм решения уравнений этого типа распространяется на двумерный случай. Затронута проблема разрешимости задач математического моделирования.

Седьмой раздел развивает направленность сведения задач к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, вовлекая в сферу преобразований достаточно нетривиальные приложения (с учетом факторов нелинейности, сингулярного возмущения и ряда других). Форма изложения материала носит характер эскизных зарисовок.

В заключении подытожены основные положения работы с все тех же позиций приоритетной значимости корректной постановки задач математического моделирования для эффективности их численной реализации.

Математический аппарат, использованный при изложении, сравнительно несложен: положения классической теории интегральных уравнений; элементы функционального анализа; общие представления о постановках задач математической физики и методах их решения. При проведении выкладок часто упоминается книга: Трикоми Ф. Интегральные уравнения, 1960.

Литературные источники указаны к каждому из разделов в порядке ссылок. Разделы и подразделы (главы и параграфы библиографических источников) обозначены соответственно: п.1; п.1.1; пп. 1.1, 1.2.

Нумерация формул в основном тексте двойная: первая цифра указывает раздел; вторая – порядковый номер в разделе. Нумерация формул во введении и заключении – одинарная.

Автор глубоко признателен И.Журавлеву, который указал на противоречие в выкладках п.4, вследствие чего он был переработан. Внесены  также коррективы в другие разделы. При этом методология работы и основа метода решения не изменились.

Благодарю также И.Степанова за размещение сайта в Интернете и М.Качоманову за помощь в оформлении рукописи.