1.           ПРОБЛЕМА КОРРЕКТНОЙ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

1.1.         Корректность по Адамару

Жак Адамар определил два условия, которым должна удовлетворять корректно поставленная краевая (начально-краевая) задача для уравнений с частными производными: существование и единственность решения [1, c.12].*

Вместе с тем, хорошо известно о третьем условии корректности по Адамару в отношении непрерывной зависимости решения от данных задачи. Действительно, он уделил пристальное внимание исследованию этого вопроса применительно к теореме Коши-Ковалевской, посвященной решению дифференциального уравнения

                                  (1.1)

(системы аналогичных уравнений), где  – аналитическая функция своих аргументов в окрестности начала координат, с начальными условиями

Как отметил Ж.Адамар, при рассмотрении задачи (1.1), (1.2), носящей имя Коши, возникают три следующие вопроса [1, c.17]:

1)     Имеет ли она решение?

2)     Является ли решение единственным? (В совокупности, корректно ли поставлена задача?).

3)     Наконец, как вычислить это решение?

Теорема Коши-Ковалевской (в ее авторской интерпретации) утверждает, что, за исключением ряда особых случаев, данная задача имеет единственное решение, аналитическое вблизи начала координат. При этом функции  в (1.2) могут быть не только аналитическими, но и регулярными, то есть непрерывными со своими производными до некоторого порядка. Подразумевается возможность равномерного приближения функций  рядами Тейлора по степеням  в связи с чем на них переносятся все операции с аналитическими функциями, включая дифференцирование до соответствующего порядка.

Однако такой подход встретил критику Адамара. По его мнению, вопрос заключается не в том, насколько подобная аппроксимация влияет на начальные условия, главное – как значительно в результате изменится решение? Подчеркнута неэквивалентность понятий малого возмущения для данных задачи Коши и ее решения [1, c.39]. В этой связи Адамар привел свой знаменитый пример о решении дифференциального уравнения

                                                                                       (1.3)

с условиями

                                                    (1.4)

где  – функция, быстро убывающая с ростом

Выражение в правой части (1.4) может быть сколь угодно малым и, тем не менее, задача имеет решение

                                                                (1.5)

которое если  или  или  – весьма велико для любого значения  отличного от нуля (вследствие превалирующего роста  и соответственно ). Итак, функция (1.5) не зависит непрерывно от начального условия и, следовательно, задача (1.3), (1.4) является некорректной.

О регулярности правых частей (1.2) Адамар заметил: «… поистине один из наиболее любопытных фактов теории заключается в том, что уравнения, по виду очень близкие, ведут себя совершенно противоположным образом» [1, c.29].

Вопросам корректной постановки задачи Коши посвящено большое количество исследований, авторы которых занимались как выделением соответствующих классов дифференциальных уравнений, так и минимизацией ограничений, предъявляемых к начальным условиям (см. [2]). Однако нас более всего интересует, собственно, характер зависимости решения от данных задачи и, с этой точки зрения, классическое утверждение Адамара: «Аналитическая задача всегда корректно поставлена в смысле, указанном ранее, когда есть механическое или физическое истолкование вопроса» [1, c.38].

Как отметили В.Я.Арсенин и А.Н.Тихонов [3], последнее поставило под сомнение целесообразность изучения некорректных задач, к которым авторы отнесли: решение интегральных уравнений первого рода; дифференцирование функций, известных приближенно; численное суммирование рядов Фурье, когда их коэффициенты известны приближенно в метрике  аналитическое продолжение функций; решение обратных задач гравиметрии, а также плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений; минимизацию функционалов в условиях несходящихся последовательностей координатных элементов; некоторые задачи линейного программирования и оптимального управления; проектирование оптимальных систем и, в частности, синтез антенн. Подчеркнуто, что это далеко не полный перечень, так как некорректные задачи возникают при исследовании широчайшего спектра проблем физики и техники.

Г.Е.Шилов в выступлении на заседании Московского математического общества, посвященном памяти Адамара [4], высказал следующее: «Наше время внесло коррективы в установки Адамара, поскольку выяснилось, что некорректные по Адамару задачи могут быть содержательными (как, например, задача о восстановлении потенциала поля по данным рассеяния); но, конечно, изучение корректных задач, провозглашенное Адамаром, явилось цементирующим средством для формирования всей теории» (имеется в виду функциональный анализ). Данная цитата заимствована из биографического очерка Е.М.Полищука и Т.О.Шапошниковой [5], в котором также отмечено, что с течением времени мнение Адамара о важности для практики только корректных задач стали понимать не столь абсолютно.

Вместе с тем делались и достаточно резкие заявления:

«Более того, Адамар выдвинул утверждение о том, что некорректные задачи вообще не имеют смысла. А поскольку (как это видно с современных позиций) большинство прикладных задач, описываемых уравнениями первого рода, являются некорректными, то данное утверждение выдающегося математика, по-видимому, сильно затормозило в 20–50 гг. ХХ века развитие теории, методов и практики решения указанного класса задач» [6, c.12].

«До последнего времени считалось, что некорректные задачи лишены физического смысла и их не имеет смысла решать. Однако имеется много важных прикладных задач физики, техники, геологии, астрономии, механики и т.д., математически описываемых адекватно и, тем не менее, являющихся некорректными, что сделало актуальной проблему разработки эффективных методов их решения» [6, c.225].*

«Из результатов этой работы [А.Н.Тихонова] следовала ограниченность известного понятия Ж.Адамара [1] корректно поставленной задачи математической физики, имеющего безусловный методологический интерес, и несостоятельность тезиса Адамара, получившего широкое распространение среди исследователей, о нефизичности всякой некорректно поставленной математической задачи» [7, c.3].

«К области метафизики долгое время было принято (в том числе и очень крупными математиками) относить деятельность, связанную с анализом и решением задач, которые получили название некорректных» [8, c.126]. «Преобладающее большинство математиков, в том числе и Адамар, выразило свое отношение к данной проблеме следующим образом: если некоторая задача не удовлетворяет требованиям корректности, то она не представляет никакого практического интереса, а стало быть, ее незачем решать» [8, c.127] (автор раздела «Некорректные задачи математической физики» – Н.Г.Преображенский).

Заметим, что в последней из указанных работ наиболее рельефно просматривается стиль, вызывающий принципиальное возражение. Так, А.Пуанкаре обвинен в несостоятельности методологических воззрений о природе причинно-следственных связей [9] («Последние мысли»). Действительно, текст не содержит сведений, которые бы свидетельствовали о фетишизации им проблемы восстановления причины по следствию. Из этого делается вывод о недопонимании великим ученым существа неустойчивости вычислительных процедур, органично присущих некорректным задачам и, в частности, интегральным уравнениям первого рода.*

Адекватность обсуждаемых моделей реалиям авторами [8] никак не затрагивается и возникает вполне закономерный вопрос: из чего следует, что Пуанкаре, при необходимости, не нашел бы способа математически корректной постановки тех же физических задач? В любом случае, чему противоречат общие соображения о существовании подобной возможности, включая аспекты ее практической реализации?

Кстати, именно Пуанкаре неоднократно упоминает Адамар, выясняя взаимосвязь между корректной постановкой задач и адекватностью используемых моделей. Обратим внимание на весьма красноречивый тезис: «Если физическая задача сводится к аналитической, такой как (1.3), (1.4), то нам будет казаться, что ею управляет чистый случай (согласно Пуанкаре, это состоит в том, что детерминизм нарушается), и она не подчиняется никакому закону» [1, c.43].

В свете сказанного, представляют интерес соображения И.Пригожина и И.Стенгерс [10]: «… о «физическом законе» какого-нибудь явления можно говорить лишь в том случае, когда этот закон является «грубым» относительно предельного перехода от описания с конечной точностью к бесконечно точному и в силу этого недостижимому для любого наблюдателя, кем бы он ни был» (с.9). «Ученые на сотни различных ладов выражали свое изумление по поводу того, что при правильной постановке вопроса им удается разгадать любую головоломку, которую задает природа» (с.44).

Итак, подчеркнуты: во-первых, методологическая значимость корректных постановок задач математической физики; во-вторых, главенствующая роль используемых для этого процедур и, наконец,  влияние эффективности их реализации на степень сложности получения конечного результата. Таким образом, одна и та же задача может быть лучше или хуже поставлена.

Приведенное выше утверждение или, как его назвал С.К.Годунов, – постулат Адамара [11, с.113], по существу, подразумевает возможность «хорошей» (корректной) постановки любой физически содержательной задачи и, следовательно,  имеет глобальную значимость.*

В этой связи очевидна созвучность с комментариями Д.Гильберта к сформулированной им 20-й проблеме, предположившего возможность корректной постановки произвольных краевых задач математической физики посредством специальных требований к граничным значениям соответствующих функций (типа непрерывности или кусочной дифференцируемости до определенного порядка), а при необходимости – и придания понятию решения расширительного толкования [12, c.54-55].

Впервые три условия корректности краевых задач математической физики отчетливо указали Д.Гильберт и Р.Курант [13, c.199-200]: существование, однозначная определенность и непрерывная зависимость решения от данных задачи. Относительно последнего условия сказано:
«… оно имеет коренное значение и отнюдь не является тривиальным. … Математическая задача лишь в том случае может считаться адекватной для описания реальных явлений, если изменению предложенных данных в достаточно тесных пределах соответствует также малое, т.е. ограниченное заранее заданными пределами, изменение решения».

Совершенно аналогична позиция В.А.Стеклова [14, c.62]: «… если дифференциальные уравнения с упомянутыми выше начальными и предельными условиями построены не на ошибочных основаниях, не находятся в явном противоречии с действительностью, то они должны давать для каждой задачи единственный и вполне определенный ответ …», а также И.Г.Петровского [15, c.87]: «Приведенные выше соображения о корректности постановки задачи Коши показывают, что и другие краевые задачи для уравнений с частными производными представляют интерес для естествознания только в том случае, если имеет место, в некотором смысле, непрерывная зависимость решения от краевых условий, корректность постановки задачи».

С.Л.Соболев не столь категоричен [16, c.38]: «Решение задачи, некорректно поставленной, в большинстве случаев не имеет практической ценности». Весьма интересно мнение В.С.Владимирова [17, c.69]: «Проблема нахождения корректных постановок задач математической физики и методов их решения (точных или приближенных) составляет основное содержание предмета уравнений математической физики».

В.В.Новожилов по существу обратил внимание на потенциал видоизменения постановки задачи с целью упрощения процедуры ее численной реализации [18, c.352]: «Отсутствие в термине «математическая модель» указания на ее неизбежную приближенность дает повод формально-математического подхода к моделям в отрыве от тех конкретных задач, для решения которых они предназначены, что, к сожалению, в настоящее время распространено».