|
|
|
|
|
Итак, Адамар и целый ряд других выдающихся ученых полагали, что любая физически интерпретируемая задача может быть корректно поставлена, но в современных изданиях превалирует совершенно противоположная точка зрения. В самом деле, большая часть практически важных задач, которые в них рассматриваются, - некорректны. Однако адекватна ли собственно методология математической постановки этих задач, а соответственно и результаты ее преломления к реалиям?
Здесь не стоит углубляться в нечто вроде общих принципов построения дифференциальных уравнений и, вообще говоря, вначале вопрос целесообразно сузить: из каких соображений судят о том, что некорректно поставленная задача действительно описывает наблюдаемое явление, или же потенциально реалистичный процесс? В этой связи обратимся к процедуре решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода
(1.6)
– классической
некорректной задаче: квадратично суммируемые ядро 
и свободный член 
– даны; функция 
– подлежит определению.
Предположим, что ядро симметрично и замкнуто, то есть 
собственные функции 
представляющие собой нетривиальные решения
интегрального уравнения
с характеристическими
числами 
образуют полную в 
систему элементов. В этом случае решение уравнения
(1.6) существует и единственно при условии [19, с.185-187]:
(1.7)
Если все указанные требования выполнены, то остается третье условие корректности,
которому, как известно, уравнение (1.6) заведомо не удовлетворяет. Многочисленные
руководства наглядно демонстрируют неадекватно сильное влияние на решение малых
возмущений данных задачи, в первую очередь 
Зачастую эта функция определяется
экспериментально и не согласована с ядром 
в частности по гладкости,
а, следовательно, уравнение (1.6) вообще утрачивает смысл. Вместе с тем возможность
эквивалентного описания задач математической физики посредством интегральных
уравнений первого рода в настоящее время считается несомненной, о чем свидетельствует
их колоссальный перечень [6, п.4.2].
Конкретизируем уравнение (1.6):
(1.8)
где 
– целое положительное число.
При этом 
[20, с.149].
Поскольку ядро 
– симметрично, непрерывно и все 
использование теоремы Мерсера [19], согласно
которой
а также представление
в виде ряда с неопределенными коэффициентами
по элементам позволяют найти решение уравнения (1.6)
(1.9)
Но столь простой, вычислительная процедура оказалась вследствие специального
выбора данных задачи. В противном случае, или же при решении уравнения (1.6)
с ядром и свободным членом (1.8) одним из численных методов, сложность реализации
достаточно высокого приближения – практически идентична наиболее общей ситуации,
характеризующейся погрешностью задания и 
*
|
*
Здесь сложность подразумевает плохую обусловленность системы линейных
алгебраических уравнений, получаемых в результате некоторой дискретизации.
|
Суть в том, что даже при объективной совместимости данных, некорректность уравнения (1.6) проявляется вследствие округления цифр при проведении вычислений.
Фактор некорректности уравнения (1.6) вытекает из сопоставления свободного
члена (1.8) с решением (1.9). В самом деле, с увеличением функция может оказаться сколь угодно малой, тогда
как пределы значений – неизменны. Соответственно та, или иная погрешность
вычислительных операций со свободным членом проецируется на функцию 
имея множитель 
Механизм этого феномена сглаживания информации
о функции при ее интегрировании будет неоднократно затронут в ходе дальнейшего
изложения.
Однако вернемся к сформулированному вопросу о сопряжении некорректной постановки
с реальностью и, в этой связи, обратим внимание на следующее обстоятельство.
Рассматривая (1.6) в качестве интегрального уравнения Фредгольма первого рода,
мы подразумеваем решение обратной задачи (О). Но (1.6) можно использовать и
для решения соответствующей прямой задачи (П): вычисление функции по данным и 
Эта процедура корректна, а значит – радикально
проще задачи О. Достаточно заметить, что отсутствует принципиальное различие
между вычислением интеграла (1.6) в аналитическом виде и его сугубо численной
реализацией.
И здесь хотелось бы привлечь внимание к моменту, который представляется
весьма существенным. Задача П, как правило, прозрачна – в ее категориях мы адекватно
моделируем реально происходящие процессы и явления наглядными, что важно подчеркнуть,
средствами линейной суперпозиции. Соответственно если, например, – характеристика системы,
а – интенсивность внешнего воздействия, то результат
события в той, или иной предметной области остается лишь элементарно просуммировать.
Ситуация с задачей О – диаметрально противоположна. Едва ли представляется возможным указать реальный процесс (явление), для которого ее удавалось бы формулировать математически, – непосредственно из соображений предметной области. Иначе говоря, вне привязки к задаче П, наряду с чем общепринятой является трансформация последней в задачу О путем, всего лишь, переименования известных и неизвестных компонентов.
Как представляется, ущербна методология, в рамках которой на основании вполне доброкачественной информации о конкретной задаче П говорится об адекватности реалиям задачи О, полученной с помощью упомянутого переименования компонентов. Соответственно ничем не подкрепленными следует считать суждения специалистов, априори отвергающих утверждение Адамара о существовании корректных постановок задач математической физики.
Обратимся к задаче П, описывающей некоторый реальный процесс (явление) (1.6).
Для него, конечно же, имеет смысл определение функции по данным и 
то есть постановка и решение
соответствующей обратной задачи, которую обозначим через О¢.
Предположим, что в рассматриваемом случае утверждение Адамара имеет место и,
следовательно, задача О¢ – корректна. Но задача О – решение интегрального
уравнения Фредгольма первого рода (1.6) – некорректна по определению.
Вывод очевиден: математические формулировки (представления, выражения) задач
О и О¢ – нетождественны. Следовательно,
постановка задачи О¢ не может ограничиваться
лишь переадресацией статуса неизвестной между функциями 
и 
в задаче П. Заметим в этой связи, что
развитие методологии корректной постановки задачи, обратной П, то есть О,¢
является главной целью настоящего исследования.
Приведенные доводы кажутся достаточно весомыми, однако на данном этапе изложения
не представляется возможным как доказать правомерность постулата (утверждения)
Адамара в общем случае, так и проиллюстрировать его реализацию применительно
к отдельным классам задач. Следует также учесть, что, используя специальные
приемы, решение некорректной задачи О (или то, что под ним подразумевается)
зачастую удается получать с точностью, которую считают практически приемлемой.
В связи с этим возникает вопрос: следует ли стремиться к корректной постановке
О¢, если алгоритмы вычисления функции в постановке задачи О так
или иначе осуществляют ее регуляризацию? Имеется в виду известная деформация
постановки О с использованием малого параметра, сообщающая ей свойства корректной
разрешимости.
Итак, способен ли алгоритм в полной мере, включая эффективность процедуры его численной реализации, нивелировать принципиальные осложнения, заложенные некорректностью задачи О вида (1.6)? Понятно, что ответ может быть только отрицательным, – в противном случае утратила бы смысл прочно устоявшаяся дифференциация задач на корректно и некорректно поставленные.
Более того, обозначенное расхождение является исключительно существенным, поскольку корректность постановки – критерий качественного уровня, что же касается эффективности метода решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода, то его можно измерять лишь в количественных показателях паллиативного свойства. Сказанное обуславливается непосредственной взаимозависимостью между глубиной регуляризации и деформацией (искажением) задачи О.
Однако в чем собственно может выражаться разночтение постановок О и О¢? Ответ на этот вопрос содержится в пп. 3.5, 4 и 5. Заметим лишь, что трансформация постановки О в О¢ будет осуществляться посредством не вполне непрерывного возмущения интегрального оператора задачи (1.6), моделирующего феномен сглаживания информации процедурой интегрирования.
