|
|
|
|
|
Приведем выдержку из [5, c.175]: «Первоначально Адамар определял корректность задачи лишь условиями разрешимости и единственности, энергично настаивая на непрерывной зависимости решения от начальных данных только при обсуждении задачи Коши. Вот что он написал в книге «Теория уравнений в частных производных», вышедшей в Пекине через год после его смерти: «Это третье условие, которое мы ввели в «Лекциях о задаче Коши …», но не рассматривали как часть определения хорошо поставленных задач, было присоединено, и совершенно справедливо, Гильбертом и Курантом [13]. Мы принимаем здесь их точку зрения».
Е.М.Полищук и Т.О.Шапошникова сопроводили этот текст комментарием [5, с.175-176]: «С математической точки зрения вопрос о необходимости включения требования непрерывности решения относительно данных представляется довольно деликатным. Дело в том, что согласно известной теореме Банаха о замкнутом графике, однозначная разрешимость линейной задачи влечет ограниченность обратного оператора, а тем самым – и непрерывную зависимость решения от правых частей». Отмечено, что на решение задачи могут также влиять вариации коэффициентов дифференциальных уравнений и контура области определения, вследствие чего использование трех условий корректности является предпочтительным.
Вместе с тем к рассматриваемой проблематике в большей мере относится теорема
Банаха об обратном операторе [21, c.34], являющаяся следствием указанной выше.
Ее формулировка, данная А.Н.Колмогоровым и С.В.Фоминым, гласит [22, c.259-260]:
Пусть 
– линейный ограниченный
оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство 
на банахово пространство 
Тогда обратный оператор 
– ограничен.
Л.А.Люстерник и В.И.Соболев [23, c.159-161] в дополнение подчеркнули, что
подразумевается взаимно однозначное отображение всего банахова пространства
на все банахово пространство Наряду с этим оговорена ситуация, при
которой «… оператор, обратный к ограниченному линейному оператору, оказывается
хотя и линейным, но определенным не на всем пространстве 
а лишь на некотором линейном многообразии
и неограниченным на этом многообразии».
Формулировка той же теоремы в [24, c.60] такова: Если линейный ограниченный
оператор 
отображающий банахово пространство
на все банахово
пространство имеет обратный
– 
то ограничен. При этом отмечено, что данное
утверждение утрачивает силу, если отказаться от полноты одного из указанных
пространств. Приведено также пояснение: из существования и единственности решения
уравнения 
при всякой правой части из 
следует непрерывная зависимость решения 
от 
Сам Банах высказался так: Если линейная операция преобразует взаимно однозначно
на то преобразование является
взаимно непрерывным. При этом в формулировке теоремы о замкнутом графике он
отметил, что преобразование осуществляется на все пространство
Л.В.Канторович и Г.П.Акилов внесли уточнение, касающееся отображения на
замкнутое подпространство банахова пространства [25, c.454]. Смысл в том, что замкнутое подпространство
банахова пространства само является банаховым пространством.
С.Г.Михлин привел доказательство теоремы [26, c.507]: Для того, чтобы линейная
задача была корректной в паре банаховых пространств
необходимо и достаточно существование
ограниченного оператора отображающего все пространство на 
При этом четко разграничены категории
существования и единственности решения краевой задачи с ее корректностью в целом,
предполагающей как следствие, непрерывность зависимости от данных (третье условие
по Адамару). Дано определение: «Краевая задача называется корректной в паре
банаховых пространств и если ее решение единственно в
и существует при
любых данных из и если достаточно
малому изменению начальных данных в норме соответствует сколь угодно малое изменение
решения в норме » (с.204).
Автор отметил, что задача может оказаться корректной в одной паре пространств
и некорректной в другой. При этом некорректность интегрального уравнения Фредгольма
первого рода (1.6) вытекает из противного: если задача корректна – существует
ограниченный оператор и, следовательно, тождественный оператор
вполне непрерывен в соответствующем
бесконечномерном пространстве, что противоречит положениям общей теории [24].
Михлин также вполне благосклонно отозвался о направлении приближенного решения
некорректных задач, возглавляемом А.Н.Тихоновым.
В аналогичном по содержанию курсе [27, с.169-172] Михлин повторил приведенные
формулировки, однако Тихонов не упомянут вовсе, тогда как обсуждение уравнения
(1.6) получило весьма интересное продолжение (с.171). Показано как задача его
разрешения становится корректной, если пару пространств 
заменить на такую, в которой оператор
уже не будет вполне
непрерывным. Общие соображения проиллюстрированы примером. Пусть 
и 
удовлетворяют условиям
п.1.2, включая (1.7). Оказывается, если в качестве сохранить 
а принять также гильбертовым пространством
функций, нормированных согласно (1.7), то решение уравнения (1.6) превращается
в корректно поставленную задачу: оператор – не вполне непрерывный
и – ограничен.
В этой связи можно отметить, что оператор ограниченно обратим не только когда он действует
из на все гильбертово пространство Достаточно, чтобы оператор
был ограничен снизу и его область значений
была всюду плотной в Вместе с тем, – не обязательно замкнута [28, с.34].
Спустя еще одно десятилетие, Михлин фактически отказался от исследований, связанных с проблемой корректности [29]: «Автор придерживается классической точки зрения, по которой задача, к решению которой применяются математические методы, должна рассматриваться как поставленная точно. Конечно, существуют и другие мнения (с.7). … Тем самым мы пренебрегаем так называемыми неустранимыми погрешностями, связанными с постановкой упомянутой задачи как задачи естествознания или социально-научных дисциплин (погрешности измерений, недостаточная точность основных гипотез и т.п.)» (с.17).
М.М.Лаврентьев и Л.Я.Савельев охарактеризовали исследование вопроса о разрешимости
уравнения (1.6) с привлечением соображений по типу [27] как тривиальное, поскольку
при экспериментальном определении трудно представить, чтобы возникающая
погрешность оказалась малой в норме пространства [30, c.217]. Наряду с этим отмечается, что,
вообще говоря, для любого операторного уравнения можно подобрать пары пространств,
в которых задача его разрешения была бы корректной.
Г.М.Вайникко и А.Ю.Веретенников обратили внимание на сложность описания таких пространств. Так, даже интегральное уравнение Вольтерра первого рода
допускающее регуляризацию:
и элементарно разрешимое
в квадратурах, по соображениям нормы для 
зачастую, приходится рассматривать
как некорректно поставленную задачу [31, c.6].
В отношении пары пространств, реализующих условия корректной постановки, представляет интерес замечание К.И.Бабенко [32, c.304]: «Известный пример Адамара (1.3), (1.4), дающий решение задачи Коши вида (1.5), говорит вовсе не об отсутствии непрерывной зависимости от начальных данных, как его обычно трактуют, а о том, что малые изменения начальных данных могут привести к тому, что мы выходим из совокупности начальных данных, для которых существует решение задачи Коши».
Кстати, Р.Рихтмайер продемонстрировал корректность процедуры численной реализации весьма сложной задачи указанного типа путем представления искомых функций двумерными степенными рядами и реализации специальных приемов подавления погрешности арифметических операций [33, п.17.В].
Две следующие теоремы приведены в курсе В.А.Треногина [34, c.225]:
Пусть 
и 
– бесконечномерные
нормированные пространства, причем полно. Если
– вполне непрерывный линейный
оператор из в 
отличный от конечномерного, то его
область значений не является замкнутым множеством в
Пусть – вполне непрерывный оператор
из бесконечномерного нормированного пространства в нормированное пространство
причем на существует обратный оператор
Тогда неограничен на
