|
|
|
|
|
Предположим, что 
– точный результат интегрирования функции
и симметричного замкнутого ядра 
по формуле (1.6):
(1.10)
Однако в общем случае, правая часть этого уравнения является реально следующей:
(1.11)
где 
– допускаемая погрешность.*
| * Здесь «штрих» использован для согласованности с обозначением в п.3.5 и далее. |
При этом, естественно,
не принадлежит области значений оператора
определяемой условием (1.7). Далее пространство
функций, для которых оно выполнимо, будет обозначаться через 
В отличие от обычного 
принадлежность 
зависит как от функции
так и оператора 
Таким образом, – пространство функций, получаемых в результате
интегрирования по формуле (1.6) данного ядра и всего множества 
из 
Собственно говоря, и 
в рассматриваемом случае
– одно и то же. Вместе с тем, понятие пространства в большей мере характеризует
вид нормирующего функционала (1.7). Между и такой абстракцией, как
область значений оператора 
– теорема Пикара, дающая условие разрешимости
уравнения (1.6) [20]. Кроме того, полезным может оказаться сопоставление с пространством тесная взаимосвязь которого с 
определяется теоремой Рисса-Фишера [19].
Напротив, свободный член уравнения (1.10) 
и, вместе с тем, одна лишь проверка условия
(1.7) может оказаться неосуществимой из-за накопления погрешности вычислений.
Своеобразная «размытость» пространства обуславливается структурой
его нормирующего функционала. В этом смысле пространство 
является для функции
гораздо более осязаемым и, тем не менее, его
использование влечет весьма негативные последствия.
Действительно, в таком случае не принадлежит замкнутому подпространству
операторы и 
соответственно – вполне непрерывный
и неограниченный, вследствие чего процедура численной реализации уравнения (1.6),
по существу, выводится из сферы применения фундаментальной теоремы Банаха об
обратном операторе. Не слишком ли дорогая расплата за эфемерную, как представляется,
наглядность при постановке задачи в условиях отображения внутри пространства
?
Обратим внимание на известную точку зрения о необходимости выбора пространств, которым принадлежат данные задач математической физики, исходя из практических приложений, с которой трудно не согласиться. Вместе с тем достаточно спорным можно назвать также распространенное мнение будто бы социолог, например, должен ставить задачу, решаемую затем математическими методами, с указанием, в частности, пространств, которым принадлежат ее данные. Последнее, как правило, допускает вариативность, создающую предпосылки повышения эффективности процедур численной реализации.
Имеются ли перспективы преодоления оговоренной сложности сопряжения свободного
члена уравнения (1.6) с адекватным ему пространством ? В этой связи обратимся
к уравнению (1.10), которое с учетом (1.11) приобретает вид
(1.12)
Однако, есть шанс приведения данной функции к 
посредством адаптивного
моделирования погрешности 
Действительно, ее можно трактовать как сглаживание
информации процедурой интегрирования. Исходя из этого, представляется целесообразным выразить разностью
между искомой функцией в явном виде и интегралом с ее участием,
ядро которого не налагало бы на решение задачи существенных ограничений. Одновременно,
поскольку погрешность интегрирования по формуле (1.6) объективно невелика, вырисовывается
условие вида
(1.13)
Итак, вместо отыскания функции путем решения интегрального уравнения Фредгольма
первого рода (1.6) предлагается использовать возмущение 
приводящее к задаче (1.12), (1.13). Тем самым
создается предпосылка для обеспечения 
*
| * Практическая реализация обозначенной направленности – ключевой аспект конструктивной части настоящего изложения (пп. 3.5, 4, 5). |
Как будет показано, с использованием также ряда дополнительных соображений,
определение функции 
удовлетворяющей уравнению
(1.6), оказывается возможным свести к решению корректно поставленной задачи.
Заметим, что при значительном несоответствии между и функцией известной фактически, условие (1.13) едва
ли можно считать реально выполнимым. Тем не менее, намеченный подход остается
в силе, интерпретируя, образно выражаясь, приведение свободного члена уравнения
(1.6) к виду, при котором оно разрешимо.
