|
|
|
|
|
Изложение настоящего подраздела основывается на монографии А.Н.Тихонова и В.Я.Арсенина [1], которую буквально пронизывает концепция адекватности некорректных постановок и, в частности интегральных уравнений первого рода, задачам математической физики. В качестве иллюстрации показано, что решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода
(2.1)
с 
и 
непрерывными по 
может претерпевать сколь угодно значительные
изменения, как в метрике 
так и
при малых в 
вариациях правой части,
вида 
Ситуация с возмущением ядра 
по существу аналогична, в связи с чем авторы
ставят вопрос: что следует понимать под решением уравнения (2.1), когда 
и 
известны приближенно? По их мнению,
такая задача должна рассматриваться как «недоопределенная» и соответственно
для отбора возможных решений необходимо привлекать дополнительную информацию
о функции 
качественного, или же количественного характера,
«которая обычно имеется». В этой связи обратим внимание на соображения Н.Г.Преображенского
относительно системы линейных алгебраических уравнений, получаемых дискретизацией
(2.1) [2, c.130]:
«Анализ показывает, что выбирая достаточно высокий порядок приближения мы превращаем [указанную систему] в сколь угодно плохо обусловленную … . В этих условиях необходимо внесение в алгоритм какой-либо априорной нетривиальной дополнительной информации, с помощью которой только и можно надеяться отфильтровать вуалирующие ложные варианты и выделить решение, наиболее близкое к истинному. Любые чисто математические ухищрения, не привлекающие дополнительных априорных данных, эквивалентны попытке создания информационного perpetuum mobile, производящего информацию из ничего».
На априорной количественной информации базируется так называемый метод подбора
решения некорректно поставленных задач. Показано, что если компакт 
метрического пространства
взаимно однозначно
и непрерывно отображается на множество 
метрического пространства 
то обратное отображение на также непрерывно. Соответственно
предположение о принадлежности решения, в частности уравнения (2.1), компакту
позволяет считать оператор 
на множестве 
непрерывным.
Практическая реализация сводится к аппроксимации рядом с параметрами, изменяющимися
в ограниченных пределах (так, чтобы представляло замкнутое множество
конечномерного пространства), которые находятся из условия минимизации невязки
удовлетворения уравнению (2.1). Отметим отсутствие сколько-нибудь общих рекомендаций
в отношении выбора 
В свете изложенного, М.М.Лаврентьев сформулировал понятие корректности по Тихонову для уравнения (2.1) [3]:
1)
Априори известно, что решение этого уравнения 
существует и принадлежит
множеству пространства 
2)
Решение 
единственно на множестве
3)
Оператор непрерывен на множестве 
пространства 
Если
– компакт (случай назван
«обычным») последнее условие становится следствием предыдущих.
Задачи, в которых оператор неограничен на множестве
и множество возможных решений
не является компактом,
названы существенно некорректными. Для них Тихонов выдвинул идею построения
регуляризирующего оператора 
в некотором смысле близкого
к 
область значений которого
при отображении из 
в допускала бы согласование с правой
частью уравнения (2.1), известной приближенно. При этом
должен содержать параметр
регуляризации 
зависящий от точности исходной информации.
Оператор 
назван регуляризирующим для уравнения (2.1),
в случае если он обладает свойствами:
1) Определен
для любых 
и 
2)
При 
где и 
– соответствующие точные выражения, существует
такое 
что для любого 
найдется 
Здесь 
Подразумевается возможность выбора 
так, что при 
регуляризированное решение
то есть 
Вместе с тем, отмечена алгоритмическая сложность
построения зависимости для которой оператор 
являлся бы регуляризирующим, применительно
к классам практически важных задач. Вопросам разрешения данной ситуации посвящены
многочисленные публикации последователей Тихонова, о которых будет сказано ниже.
Непосредственно в [1], построение выполнено с привлечением аппарата вариационного
исчисления, сводящего определение к минимизации функционала
(2.2)
Для уравнения (2.1) его стабилизирующую компоненту рекомендовано использовать в виде
(2.3)
где 
³ 0 – заданные функции.
В случае симметричного ядра процедура минимизации (2.2) эквивалентна решению
интегро-дифференциального уравнения
(2.4)
при условиях
(2.5)
Здесь 
– произвольная вариация функции 
не выводящая ее из класса допустимых.
По мнению авторов [4], подавляющее большинство обратных задач являются некорректно поставленными, причем попытки их решения, ввиду огромной практической важности, предпринимались на протяжении длительного периода. «Но только в результате … появления фундаментальных работ академика А.Н.Тихонова была создана современная теория решения обратных задач, в основу которой легло понятие регуляризующего алгоритма» (с.7). Далее излагается процедура численной реализации интегральных уравнений Фредгольма первого рода, связанных с интерпретацией астрофизических наблюдений, путем выделения компакта возможных решений в классе монотонно ограниченных функций.
Как отметил О.А.Лисковец [5]: «… корректность по Тихонову достигается за счет сужения допустимого множества решений до класса корректности» (с.13). Представляет интерес также следующая цитата из указанной монографии: «В отличие от господствовавшего прежде мнения о том, что все задачи, описывающие физическую реальность, корректны, по современным представлениям каждая реальная задача регуляризуема, то есть имеет хотя бы один регуляризатор» (с.14).
Заключение В.А.Морозова [6, c.9]: «Метод регуляризации А.Н.Тихонова
оказался необременительным на практике, так как не требовал фактического задания
компакта М, в котором содержится искомое решение уравнения (2.1). … Основная
трудность применения данного метода заключается в формулировке алгоритмических
принципов выбора параметра регуляризации 
». Из его же монографии [7, c.4]:
«Значимость статьи А.Н.Тихонова [8] трудно переоценить. Она послужила толчком
для выполнения целого ряда работ других исследователей в самых различных областях
математического анализа и естествознания: спектроскопии, электронной микроскопии,
идентификации и автоматическом регулировании, гравиметрии, оптике, ядерной физике,
физике плазмы, метеорологии, автоматизации научных исследований и ряде других
разделов науки и техники».
Мнение В.В.Воеводина [9, с.43]: «Успех применения метода регуляризации к решению неустойчивых систем алгебраических уравнений объясняется в значительной мере тем, что А.Н.Тихонов и его последователи не ограничились исследованиями отдельных фрагментов этой сложной задачи, а рассмотрели весь комплекс связанных с ней вопросов. Это в первую очередь четкая постановка самой задачи, построение устойчивого к возмущению входных данных алгоритма ее решения, разработка эффективного численного метода, получение оценок отклонения реально вычисляемого объекта от искомого в зависимости от возмущения входных данных и ошибок округления».
Из предисловия к сборнику статей [9] А.А.Самарского и А.Г.Свешникова: «Фундаментальное значение для всей современной математики имеет выяснение Андреем Николаевичем Тихоновым роли некорректных задач в классической математике и ее приложениях (обратные задачи). Им предложен принципиально новый подход к этому классу задач и развиты методы построения их устойчивых решений, основанные на принципе регуляризации».
