|
|
|
|
|
Результаты исследований, посвященных установлению параметра регуляризации
подытожены в [10]. В предположении о том,
что погрешности определения свободного члена 
и ядра 
уравнения (2.1) известны, используются различные
принципы минимизации невязки вида
При этом, вычисление параметра 
как корня соответствующего уравнения не вызывает
затруднений, однако выбор 
по существу, сопряжен со
значительной неопределенностью. Главное препятствие состоит в том, что весьма
проблематичной является достоверная оценка погрешности, обусловленной «мерой
несовместности» конкретно рассматриваемого уравнения 
Значительные усилия предпринимались с целью сокращения объема информации,
необходимой для вычисления параметра . Заметный шаг в этом направлении сделан А.Н.Тихоновым
и В.Б.Гласко, предложившими критерий минимизации по 
функционала 
[11] (см. также [1, п.2.7]),
однако его теоретическое обоснование оказалось возможным лишь для сравнительно
узких классов задач. Ряд способов определения связан с использованием
решений уравнения (2.1) для функций специального вида.
В [10] освещено также состояние исследований по оценке точности методов
решения интегрального уравнения (2.1). При этом в случае принадлежности 
компакту серьезных осложнений,
как правило, не возникает, и основной интерес представляют алгоритмы регуляризации.
Если в (2.3) 
и параметр – конечен, (2.4) становится интегральным
уравнением Фредгольма второго рода, на которое, в предположении известной погрешности
определения 
и 
распространяется общая
теория приближенных методов Л.В.Канторовича [12, п.14.1].*
|
*
Заметим, что определение типа уравнения, а именно его «второй род», является
в данном случае, из-за присутствия
 сугубо формальным; этот существенный момент
будет неоднократно затронут ниже. |
Вместе с тем, как показал В.А.Винокуров [13], при отсутствии априорной информации
о решении уравнения (2.1), оценка погрешности вычисления средствами регуляризации
принципиально неосуществима. Правомерно лишь ставить вопрос о сходимости вычислительной
процедуры, или же регуляризуемости соответствующей задачи.
Отметим в этой связи высказывание А.Б.Бакушинского и А.В.Гончарского [14,
c.13]: «К сожалению, в общем случае невозможно оценить меру близости 
к 
без дополнительной информации о решении уравнения
(2.1). Это характерная особенность некорректных задач. В общем случае регуляризирующий
алгоритм гарантирует лишь асимптотическую сходимость приближенного решения к
точному при 
».
С именем М.М.Лаврентьева связывают случай практической реализации метода Тихонова, состоящий в упомянутом выше сведении задачи (2.4), (2.5) к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода
(2.6)
где – малый параметр.
Показано, что 
при 
и 
Здесь 
– погрешность определения ядра
аналогичная 
(см. п.2.1).
Метод В.К.Иванова [15] позволяет находить так называемое квазирешение, минимизирующее
невязку удовлетворения (2.1) для класса функций 
где 
– компакт. Квазирешение уравнения (2.1) на
таком компакте имеет вид:
(2.7)
Здесь
где 
и 
– соответственно характеристические числа
и собственные функции ядра 
параметр 
и представляет положительный корень уравнения
(2.8)
при условиях соответственно
(2.9)
Специальные методы регуляризации разработаны для ситуаций, в которых о решении уравнений вида (2.1) имеется значительный объем информации статистического характера (спектральные плотности, математические ожидания и т.п.). Так, В.Н.Вапник [16] вполне конструктивно использовал специфику задач о распознавании образов, связанную с неоднозначностью и вследствие этого экстремальным поведением искомых функций. Обращает внимание содержащееся в указанной монографии определение (с.8), которое, по всей видимости, подразумевалось многими, однако не находило столь отчетливой формулировки:
«Задача восстановления зависимостей по эмпирическим данным была и, вероятно, всегда будет центральной в прикладном анализе. Эта задача является математической интерпретацией одной из основных проблем естествознания: как найти существующую закономерность по разрозненным фактам».
