|
|
|
|
|
По мнению Ю.И.Любича, сколько-нибудь общая теория интегральных уравнений первого рода отсутствует и лишь в отдельных случаях удается использовать специальные методы. Примером является известное уравнение Абеля [24, c. 83].
Весьма показательно замечание К.И.Бабенко [25, c.310]: «Хотя с точки зрения потери информации алгоритмы и не оцениваются, нам представляется, что это важная характеристика и ее нужно учитывать». Далее, продемонстрирована неоптимальность в этом смысле целого ряда алгоритмов, включая процедуры численной реализации некорректно поставленных задач.
Глубокий анализ методологических аспектов рассматриваемой сферы представил
Р.П.Федоренко [26, пп. 40, 41]. В частности, путем минимизации функционала
(2.2) ему не удалось установить параметр регуляризации 
так как при малых значениях возникали
осцилляции искомой функции, а с его ростом величина 
существенно превосходила практически допустимую.
Автор пришел к выводу о том, что причина заключается в неадекватности теории
[1] задачам управления, которые характеризуются разрывностью решений.
Исследуя задачу (2.16), Р.П.Федоренко высказал соображение: «Все методы
решения некорректных задач состоят в том, чтобы так или иначе запретить появление
в искомом ответе высоких гармоник с большими или даже просто конечными коэффициентами.
Но что такое «высокая частота», начиная с какого номера 
нужно считать функцию 
лишней, только портящей
решение? Это, конечно, зависит от 
». Подразумевается разложение в ряд Фурье гипотетически
известного решения соответствующей прямой задачи
Показано, что при использованном авторами [23] значении 
и погрешности удовлетворения
в 
последнего условия (2.16) – 
порядка 
приходится ограничиваться
всего лишь 
В этой связи подвергнут критике метод Р.Латтеса
и Ж.-Л.Лионса, которые при решении задачи (2.17) на сетке с шагом 
получили совершенно неприемлемую компоненту
а именно – 
И это при на уровне 0,05; в условиях, когда 
Обратим также внимание на замечание [26, с.360] о том, что кроме собственно
факта ограниченности регуляризирующего оператора 
(см. п.2.1), исключительно важной
характеристикой является его норма 
от величины которой непосредственно
зависит соотношение между точностью данной функции 
и решением 
*
| * Кстати, в большинстве профильных изданий этот момент никак не акцентирован. |
Действительно, представим уравнение (2.6) в каноническом виде
(2.18)
пусть 
и ядро 
определяется выражением
(1.8). В этом случае при 
его решение [27]:
Как можно заметить, при малых значениях 
погрешность представления функции 
способна существенно исказить 
(см. также сноску относительно уравнения (2.18)
в п.2.2).
В конструктивном плане Р.П.Федоренко рекомендует использовать традиционные постановки обратных задач дифференциального, или же вариационного характера с привлечением дополнительных условий, рационально сужающих классы возможных решений. При этом в качестве главного фактора достижения желаемой результативности указан разноплановый анализ качественных особенностей решений рассматриваемых задач, сопряженный с элементами вычислительного эксперимента.
Какие же значения параметра регуляризации характерны для вычислительной практики? Авторы
[28] отмечают, что при решении одномерных задач восстановления зависящей от
времени плотности теплового потока на поверхности – по результатам измерений
температуры во внутренних точках тел, соответствующий диапазон весьма представителен:
10-7 – 10-4. Редакторы данной монографии придерживаются
иной точки зрения: «Можно привести много примеров решения обратных задач теплопроводности,
когда область приемлемых значений 
оказывается достаточно узкой» (с.141).
Основной аппарат численной реализации [28] трактуется его авторами как дополнение метода наименьших квадратов процедурой сглаживания осцилляций решения при высоком порядке аппроксимации. В этой связи подчеркнута родственность регуляризации по Тихонову с алгоритмами сингулярных разложений, а также гребневой регрессией (или демпфированием), которые широко применяются для подавления неустойчивости процедур метода наименьших квадратов [29].
В ряде публикаций выражена ориентация на осуществление регуляризации уравнения
(2.1) без искажений исходного оператора по типу (2.4) или (2.6). Так, А.П.Петров
[30] предложил постановку задачи, в рамках которой 
посредством представления
где 
– случайный процесс, отражающий
погрешности данных и вычислений. Вместе с тем, автору не удалось использовать
формально достигаемую при этом корректность для построения эффективного алгоритма
численной реализации. Причина, по-видимому, в недостаточности структуры для адаптивной компенсации невязки удовлетворения
(2.1).
А.В.Хованский [31] привел доводы в плане того, что регуляризации должен
подвергаться алгоритм решения уравнения (2.1), а не оператор 
(на чем базируется теория
[1]). Представляет интерес выдержка: «Более того, в тихоновской регуляризации
в нерасчлененном виде присутствуют два совершенно разных понятия: точность и
устойчивость, и происходит перекачка одного в другое. В то же время давно существует
идея предобусловливания оператора [32], хотя лишь в контексте метода сопряженных
градиентов и в мультипликативной форме».
Однако, метод сопряженных градиентов – это фактически итерации по Фридману
вида (2.14). Заметим, что заложенная в них нелинейность способствует сглаживанию
известного замедления сходимости процедуры (2.10) с приближением к решению уравнения
(2.1). Отмеченный эффект продемонстрировал А.Д.Мышкис [33] с помощью представления
компонентов (2.10) рядами по собственным функциям ядра 
При этом получены соотношения
где 
и 
– коэффициенты указанного разложения функций
соответственно 
и 
При увеличении количества членов в представлении решения, с целью, казалось
бы, его уточнения, коэффициент сходимости 
приближается к единице и, вследствие
накопления вычислительной погрешности, итерации становятся «контрпродуктивными».
Отметим эффективный прием подавления неустойчивости процедуры численной реализации интегрального уравнения Фредгольма второго рода
(2.19)
«расположенного
на спектре», то есть в случае, когда 
где 
– характеристическое число,
предложенный П.И.Перлиным [34, c.105-107].
Эта задача
некорректна как по условию единственности решения, так и вследствие вырожденности
системы линейных алгебраических уравнений, получаемых дискретизацией. Вместе
с тем, возмущение правой части нулевым (в пределах точности вычислений)
компонентом
где 
– нормированная собственная
функция ядра, сопряженного 
позволяет радикально улучшить ситуацию.
Смысл в том, что теоретически решение уравнения (2.19) разлагается в ряд
по степеням 
и при согласованной с этим обстоятельством
идентичности вычислительных операций – удается компенсировать возникающую погрешность.
