|
|
|
|
|
Сформировавшиеся в данной области подходы отражает монография О.М.Алифанова, Е.А.Артюхина и С.В.Румянцева [20]. В процедуре математической постановки задач выделены структурная и параметрическая идентификация, подразумевающие соответственно качественное описание рассматриваемых процессов посредством дифференциальных операторов и наделение модели количественной информацией.
Использована также трактовка физических процессов в категориях причины и следствия. К причинным показателям отнесены граничные и начальные условия с их параметрами, коэффициенты дифференциальных уравнений, а также область определения задачи. Следственные показатели отражают состояние исследуемого объекта, представляя, главным образом, поля различного рода физических величин.
Восстановление причинных показателей по информации о физических полях рассматривается в качестве обратной задачи. Одним из ключевых, является соображение (с.11): «Нарушение естественной причинно-следственной связи, имеющее место в постановке обратной задачи, может привести к ее математической некорректности, чаще всего неустойчивости решения. Поэтому обратные задачи представляют собой типичный пример некорректно поставленных задач».
В привязке к искомым функциям выделены следующие типы обратных задач идентификации физических процессов для уравнений в частных производных:
1) Ретроспективные – установление предыстории некоторого состояния процесса.
2) Граничные – восстановление граничных условий или содержащихся в них параметров.
3) Коэффициентные – определение коэффициентов уравнений.
4) Геометрические – нахождение геометрических характеристик контура области или координат точек внутри нее.
Отмечено принципиальное различие между обратными задачами идентификации и управления по отношению к ширине классов возможных решений. Если в первом случае их увеличение сопряжено с осложнениями при численной реализации, то во втором, наоборот, является благоприятным фактором. Кстати, алгоритмическое обеспечение [20] почти всецело базируется на методах решения интегральных уравнений первого рода, к которым сводятся конкретно рассматриваемые задачи теплообмена.
При постановке обратных задач математической физики первостепенную значимость имеет доказательство соответствующих теорем существования и единственности решения. В этой связи можно отметить общий подход, схематично обозначенный А.Л.Бухгеймом [22, с.133-134]. Итак, рассматриваются уравнения
(2.15)
где 
– оператор прямой задачи; 
– «информационный» оператор, описывающий
закон изменения правой части; 
– заданный, а 
и 
– искомые элементы соответствующих
функциональных пространств.
Применение оператора к первому уравнению (2.15) дает 
что равносильно
где 
– коммутатор операторов
и 
Смысл коммутирования объясняется тем, что, как правило, о функции ничего, кроме (2.15),
неизвестно и поэтому оператор проще изучать на решении прямой задачи
которое удовлетворяет некоторой совокупности
краевых условий. Существенно, что в типичных приложениях оператор не «портит» часть
граничных условий, отражающую область определения оператора 
В результате осуществляется
своеобразная факторизация обратной задачи (2.15) в произведение двух прямых
задач, порождаемых операторами и при условии, что коммутатор
им в некотором смысле «подчинен».
В тривиальном случае 
исходная задача распадается на две более простые:
Для описания свойств используемых операторов
привлекаются априорные оценки.
Представляют интерес выдержки из введения монографии Р.Латтеса и Ж.-Л.Лионса [23]: «В этой книге мы предлагаем метод квазиобращения, предназначенный для численного решения некоторых классов граничных задач, некорректных по Адамару. Практическая и теоретическая важность таких задач все более осознается исследователями». И далее: «Основная идея метода квазиобращения (универсальная в численном анализе!) заключается в надлежащем изменении операторов, входящих в задачу. Это изменение производится введением добавочных дифференциальных членов, которые
а) достаточно «малы» (могут быть устремлены к нулю);
б) «вырождаются на границе» (для того, чтобы, например, предупредить возникновение сложных граничных условий, а также условий, в которые могут войти неизвестные, подлежащие определению)».
В частности, некорректная постановка задачи теплопроводности
|
|
(2.16) |
где 
– известная функция, заменена
следующей, с малым параметром 
:
|
|
(2.17) |
Авторы отмечают (с.36): «При численной реализации естественно выбирать наименее возможным, однако
в задачах рассматриваемого типа следует ожидать численную неустойчивость при
. Поэтому можно рассчитывать только на то,
что для каждой задачи существует некоторое оптимальное значение 
равное 
». На отсутствие сходимости
«в обычном смысле» решения задачи (2.17) к точному решению, то есть при 
обратили внимание А.Н.Тихонов и В.Я.Арсенин
[1, c.52].
