|
|
|
|
|
В настоящем подразделе
обозначает систему линейных
алгебраических уравнений. Число обусловленности матрицы 
(см., например, [49]).
где 
– множество векторов евклидового
пространства, представляет собой повышающий коэффициент между относительной
погрешностью данных и решения. Наряду с этим 
характеризует меру близости
к вырожденной матрице, для которой решение
соответствующей системы линейных алгебраических уравнений не существует, или
же не является единственным.
Алгоритм
решения вырожденной системы линейных алгебраических уравнений, базирующийся
на методе наименьших квадратов, изложен в монографии А.Н.Малышева [50]. Вначале
матрица с помощью специального преобразования приводится
к двухдиагональной и находятся ее собственные значения, которые разбиваются
на две группы: 
так, чтобы 
было не слишком велико. Затем с помощью достаточно
трудоемкой процедуры «исчерпывания» второй группы собственных значений строится
матрица 
начиная с некоторого значения 
устойчиво обратимая. Точность получаемого
таким образом обобщенного решения 
определяется по невязке
с привлечением эвристических соображений.
Как представляется, в плане методологии данная схема напоминает алгоритм В.К.Иванова [15], который отражают расчетные соотношения (2.7) - (2.9).
Л.Хейгеман и Д.Янг [43] исследовали способ предобусловливания, используемый при решении систем линейных алгебраических уравнений, близких к вырожденным, для ускорения итераций метода сопряженных градиентов:
где 
При этом данная процедура
предполагается симметризуемой в смысле существования невырожденной матрицы 
такой, что матрица 
является симметричной и положительно определенной.
С помощью
исходную задачу оказывается возможным свести
к решению гораздо лучше обусловленной системы линейных алгебраических уравнений
где
Формально,
выбор предобусловливателя не вызывает затруднений, однако на практике приходится
разрешать противоречие между условиями, которым должна удовлетворять матрица
: «близость» к 
для сокращения числа итераций;
«быстрое» вычисление произведений вида 
[51]. В указанной работе
И.Е.Капорина проанализированы различные подходы к построению предобусловливателей
для систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Аналогичная проблематика
в изложении Ортега [32] ориентирована, главным образом, на разреженные матрицы.
Сложность
задач линейной алгебры, возникающих при реализации современных методов исследований
в области механики сплошной среды, охарактеризована следующим образом [51]:
«Матрицы соответствующих систем имеют довольно большой размер (до сотен тысяч
ненулевых элементов), достаточно сильно заполнены (до сотен и даже тысяч ненулевых
элементов в каждой строке), не имеют диагонального преобладания, не являются
-матрицами и довольно плохо обусловлены. В
общем, можно рассчитывать лишь на симметрию и положительную определенность матрицы
системы».*
|
*
У
 -матрицы внедиагональные элементы – неположительны,
а все элементы обратной к ней матрицы – неотрицательны. |
Заметим, что, например, в сейсмической томографии [44] приходится довольствоваться численной реализацией дискретных аналогов интегральных уравнений первого рода. Их ядра не представимы аналитически, так как параметры используемых моделей определяются с помощью натурных экспериментов.
В свете изложенного, архаичными могут показаться соображения Р.В.Хемминга [52, c.360]: «Говорят, что система линейных уравнений является плохо обусловленной, если, грубо говоря, уравнения почти линейно зависимы. Много усилий ушло на изучение того, как решать плохо обусловленные системы. Однако можно поставить вопрос: требуется ли решать такие системы в практических ситуациях? В какой физической ситуации окажутся полезными ответы, когда они так ощутимо зависят от коэффициентов системы? Обычно справедливо следующее: вместо ответа ищут систему почти линейно независимых уравнений. В свете этой информации задача может быть лучше понята и обычно переформулирована снова более удовлетворительным образом. Вполне вероятно, что плохо обусловленные системы уравнений, если исключить ошибки округления и измерения, являются действительно линейно зависимыми и, следовательно, не отражают физической ситуации».
Обратим внимание, на позициях корректности по Адамару – признанный практик. Из предисловия к [52], написанного Р.С.Гутером: «Имя Р.В.Хемминга – известного американского ученого, бывшего президента ассоциации по вычислительным машинам, руководителя математической службы «Bell Telephon Laboratories» и его работы в области вычислительной математики и теории информации достаточно хорошо известны и не нуждаются в особых рекомендациях. … Книга «Численные методы для научных работников и инженеров», бесспорно, является выдающимся явлением в математической литературе».
Весьма интересно мнение Хемминга о приоритетности вычислительных процедур [52, c.90]: «Часто думают, что главные проблемы численного анализа сосредоточены вокруг интерполяции; но это не так. К ним относятся скорее такие операции, как интегрирование, дифференцирование, нахождение нулей, максимизация и т.д. в случаях, когда все, что мы имеем или можем вычислить – это некоторые узлы функции, причем они обычно известны не точно, а приближенно, так как бывают испорчены погрешностью округления».
Итак, задача должна ставиться корректно, несмотря на неизбежные погрешности данных. Очевидно, такая позиция свидетельствует о предпочтении алгоритмической эффективности качеству исходной информации. Заметим, что упомянутая в выдержке интерполяция подразумевает приближенное представление данных задачи для проведения операций на ЭВМ с использованием конечномерной аппроксимации.
Однако в вычислительной математике распространена альтернативная концепция, отражением которой являются следующие замечания К.И.Бабенко [25]: «Для ряда областей численного анализа теория приближения является тем фундаментом, на котором покоится здание численного алгоритма» (с.138). «Вводимая в алгоритм информация характеризуется прежде всего ее объемом… . Все остальные характеристики, как, например, точность являются производными и не дают истинного представления о вводе» (с.281).
Здесь информация
подразумевается в смысле колмогоровской теории 
-энтропии, отождествляющей ее с протяженностью
задаваемой таблицы или алфавита, символами которого оперирует алгоритм. Соответственно
проблематика численного анализа трактуется в категориях, образно выражаясь,
издержки поиска нужных слов и стирания таблиц при проведении операций.
Вместе с тем, близкие Хеммингу воззрения о взаимосвязи между методом исследования и используемой информацией активно развиваются группой специалистов во граве с Дж.Траубом и Г.Васильковским. Авторы [53] отмечают (сс. 9, 6): «В этой книге мы строим общую математическую теорию оптимального уменьшения неопределенности. Нас интересуют два основных вопроса: 1) Можно ли уменьшить неопределенность до заданного уровня? 2) Сколько это будет стоить? Цель теории информационной сложности – дать единый подход к исследованию оптимальных алгоритмов и их сложности для задач, в которых используется неполная, неточная или платная информация, и применить общую теорию к конкретным задачам из разных областей».
При этом под сложностью подразумевается количество арифметических операций, время их реализации, ресурсы памяти компьютера и т.п. Кстати, трактование понятия информации [52, 53] коррелирует с красноречивым высказыванием Р.Беллмана и С.Дрейфуса [54, c.342]: «К счастью, в некоторых случаях имеется очень простой способ преодоления этой трудности. Вместо того, чтобы пытаться изучать информацию как «улыбку чеширского кота», мы рассмотрим действительный физический процесс, в котором информация используется для выработки решений.*
| * Улыбка чеширского кота, по сказке Л.Кэррола «Алиса в стране чудес», существовала отдельно от упомянутого кота. (Прим. ред. [54]). |
Величина информации может быть тогда измерена через эффективность решений.
Таким образом, полезность информации зависит от ее применения – это наиболее разумная концепция!»
Следует заметить, что, конечно же, и процедура конечномерной аппроксимации в задачах математической физики, на которой акцентирует внимание К.И.Бабенко, является очень важной. В самом деле, получаемая дискретная модель может оказаться некорректной, а используемые алгоритмы численной реализации расходящимися даже при решении вполне ординарных задач. Пример неустойчивой разностной схемы привели С.К.Годунов и В.С.Рябенький [55, п.4.9].
Бабенко подчеркнул также отсутствие каких-либо общих методов построения конечномерных аналогов [25, c.622]: «… обеспечение только аппроксимации недостаточно» … нужно добиться еще, чтобы дискретная задача «сохраняла тип исходной непрерывной задачи». По его мнению, для достижения указанной цели «необходимо детальное исследование в каждом конкретном случае; и это наиболее нетривиальная часть работы».
