|
|
|
|
|
Весьма интересным представляется по существу программное заявление О.М.Белоцерковского и В.В.Щенникова в предисловии [56]:
«Бурное развитие вычислительной техники, которое особенно ярко проявилось в последние 10–15 лет, с особой остротой поставило проблему создания принципиально новой технологии решения задач на ЭВМ. … Исторически сложилось так, что проблемы численного моделирования (в это понятие мы включаем собственно математическое моделирование, сопряженное с численным экспериментом), будучи заметно продвинуты еще в «домашинный» период и развиваясь опережающими темпами в последующие периоды, оказались наиболее консервативной компонентой современной математической технологии решения задач на ЭВМ. Прибегая, может быть к излишней с точки зрения математиков образности изложения, можно охарактеризовать сложившуюся ситуацию двумя устойчивыми тенденциями:
- увеличение сложности математических моделей;
- построение очень изощренных математических методов.
И та и другая тенденция неизбежно приводят к технологическому тупику, поскольку создают практически трудно преодолимые сложности в решении задачи создания программно-аппаратных средств поддержки функционирования всей технологической цепочки … . Не претендуя на глубину и значимость аналогии, мы отваживаемся утверждать, что ситуация, складывающаяся в современном численном моделировании, схожа с ситуацией, наблюдавшейся в механике перед появлением основных идей и концепций квантовой механики».
Во вступительной статье [56] те же авторы акцентируют внимание на феномене накопления погрешностей округлений при численной реализации алгоритмов, включающих до 1012 операций, а также отсутствии реальных средств оценки погрешности решений, в частности, эволюционных задач. По их мнению: «… вполне обоснованным является следующее заключение: априори любая эволюционная задача на больших временах является численно (или вычислительно) некорректной в смысле отсутствия практически значимого решения. …
В случае же, если отсутствует априорная или апостериорная информация о погрешности приближенного решения, нельзя говорить о существовании решения. Этот вывод вполне согласуется с теоремой А.Н.Тихонова, утверждающей, что задача с данными об операторе и правой части не имеет решения во множестве приближенных чисел».
Белоцерковский и Щенников назвали конструктивной идею ассамблирования дискретных моделей рассматриваемых задач с целью повышения точности информации о решении посредством специальной суперпозиции. Предложено также искать решение в классе функций с ограниченной вариацией, что придало бы разностному оператору задачи сглаживающие свойства.
Известно сколь большое внимание уделял методологии математического моделирования Н.Н.Яненко (см. [2]). Выдвинутую им концепцию преодоления обозначенного кризиса поясняет О.М.Белоцерковский [57, c.106]:
«Исследование разностных схем, аппроксимирующих различные классы уравнений математической физики, приводит Н.Н.Яненко к расширению понятия схемы. Впервые он начинает рассматривать разностную схему как самостоятельный объект исследования, как математическую модель, адекватную той или иной физической модели. Это фундаментальное положение основано на глубоком понимании основ дифференциального и интегрального исчисления.
Действительно, физико-математические модели, описываемые дифференциальными, интегральными или интегро-дифференциальными уравнениями, получают из дискретных моделей путем осреднения и предельного перехода по тем или иным параметрам. Это имеет место, например, в модели сплошной среды, где для достаточно большого числа элементов в единице объема путем осреднения и предельного перехода по объему приходят к понятию сплошной среды. В этой связи можно трактовать разностную схему как самостоятельную математическую модель, обладающую теми или иными свойствами».
Обратим внимание на основополагающие, пожалуй, соображения Яненко [2]: «Объекты современной математики, теоретическое «ядро» которой составляют топология, геометрия, алгебра и функциональный анализ, представляют собой идеальные логические конструкции, образующие некоторую операционную систему. Мы будем называть их идеальными объектами, подчеркивая тем самым, с одной стороны, их практическую недостижимость и нереализуемость, а с другой – их прекрасные операционные качества, позволяющие совершать действия без потери информации. Идеальные объекты математики являются по своей сути инфинитными, требующими бесконечного числа операций» (с. 12).
«Развитие экспериментальной базы и инструмента исследования – ЭВМ – повысило интерес к таким конечным объектам как машинные числа, программы, конечные автоматы. В связи с этим принятое в ХХ веке определение математики как науки о бесконечном следовало бы заменить другим, более правильно отражающим ее сущность, т.е. как науки о соотношении конечного и бесконечного» (с.18).
Представляет интерес выдержка из [58, с.89]:
«Сделаем общее замечание о смысле постановки математически некорректных задач. Упомянутая выше меньшая ценность некорректно поставленных задач в старой литературе [Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Физматгиз, 1961] трактовалась даже как их полная бессмысленность. Сейчас признается, что это не так. … Но конечно остается фактом значительная чувствительность некорректно поставленных задач к малым ошибкам. Непонимание этого может приводить к парадоксам».
На основании изложенного, можно сделать важный, как представляется, вывод: при построении концептуальных основ математического моделирования ведущие специалисты, по существу, руководствуются положением о неприменимости к его задачам теоремы Банаха об обратном операторе. Заметим, что Н.Данфорд и Дж.Шварц отнесли ее к трем основным принципам линейного функционального анализа, которые охарактеризовали как весьма плодотворные [59, c.61].*
|
*
Остальные – принцип линейной ограниченности и теорема
Хана-Банаха.
|
Из руководства К. Морена [60, с.51]: «Эта теорема [о замкнутом графике] в последние годы приобрела репутацию самой важной теоремы функционального анализа, если этот последний рассматривать с точки зрения приложений».
Попытку обновления упомянутых фундаментальных основ, в акценте особой роли вычислительной математики, предпринял А.В.Чечкин [61], предложивший дифференциацию разделов математики на классические и неклассические. Соответственно: «арифметика, математический анализ, алгебра, геометрия, теория вероятности и др.; математическая логика, теория информации и статистика, теория нечетких множеств, теория алгоритмов и рекурсивных функций, методы вычислительной математики, теория разностных схем, теория кубатурных формул, методы решения некорректных задач и др.» (с.8). При этом в качестве критерия выбран факт наличия абсолютно полной, или же частичной информации о рассматриваемых объектах (точки, функции и т.д.).
Выдержка из аннотации раздела [61, c.78]: «Определяется и изучается новый вид отображений, являющихся обобщением классического понятия. Классические отображения осуществляют соответствие между точками множеств. При этом подразумевается, что точки известны с абсолютной точностью. Новые отображения, названные ультраотображениями, осуществляют соответствие между информациями о точках множеств. Основная конструкция ультраотображений, названная ультраоператорами, позволяет по отдельным сведениям о точке прообраза получать отдельные сведения о точке образа.
Определяется ультранепрерывность ультраоператоров, являющаяся широким обобщением понятия устойчивости методов. Выясняется, что для любого опорного оператора можно построить ультранепрерывный оператор над ним. Выделяется класс ультранепрерывных ультраоператоров, названных тихоновскими, для которых опорные операторы не являются непрерывными». И далее: «Они связаны с идеями и методами решения некорректных математических задач А.Н.Тихонова».
Возвращаясь к вопросу об адекватной дискретизации, приведем выдержку из резюме монографии А.А.Дезина [62], которая: «Посвящена описанию основных структур многомерного анализа и рассмотрению внутренним образом определяемых дискретных задач анализа и математической физики. Имеется в виду, что речь идет не просто об аппроксимации заданного континуального объекта, а о построении его аналога, отправляясь от понятий, допускающих дискретную трактовку».
Доводы о противоречии физическому смыслу дифференциальных моделей некоторых классов задач механики сплошной среды привел М.А.Зак [63]. В этой связи им разработан общий подход, всецело базирующийся на положениях теоретической механики при своеобразной интерпретации принципа наименьшего принуждения Гаусса.
Альтернативна позиция К.Трусделла, полагающего, что в целом континуальная механика деформируемого тела «по существу своему не только тоньше, красивее и величественнее, чем весьма скудный частный случай, называемый «аналитической механикой», но и гораздо лучше подходит для моделирования реальных тел» [64, c.10].
