|
|
|
|
|
Некорректно поставленные задачи математической физики обманчиво прозрачны с точки зрения интерпретации исследуемых процессов и явлений, что обуславливается их адекватностью, на самом деле, пространствам, которые в вычислительном отношении практически нереализуемы. Если же данные таких задач определены в естественных для них классах функций, соответствующие постановки утрачивают математический смысл, вследствие своей неразрешимости.
В столь нетривиальной ситуации, конечно же, исключительно значима роль общеметодологических концепций, иначе говоря, необходимо руководствоваться какой-то системой глобальных принципов. Исходя из этого, если утверждение Адамара о необходимости корректной постановки задач, описывающих физические явления [1], еще можно считать своего рода гипотезой, то по существу родственная ему теорема Банаха об обратном операторе – общепризнанный компонент фундамента математической науки [20].
Тем не менее, появилось понятие корректности по Тихонову, обыгрывающее вариант поиска решения задачи (3.1) в суженном классе функций, [14]. Общие рекомендации в отношении установления такого класса, на основании информации содержательного плана, не разработаны.
Зыбкость концептуальной основы обрекла на провал идею осуществления предельного
перехода по малому параметру в решении семейства задач, имитирующих некорректно
поставленную (метод регуляризации [2]). Причина, очевидно, во все той же неадекватности
использования функциональных пространств. Если 
характеризуется совокупностью
бесконечного набора признаков, и при этом зависящих от оператора 
(суперпозиция произведений
квадратов значений, состоящих из характеристических чисел и интегралов от свободного
члена и собственных функций), а 
– всего одним (интеграл от квадрата
функции), то можно ли, даже из сугубо эвристических соображений, надеяться на
преодоление столь кардинального несоответствия с помощью параметра регуляризации
?
Положение, сложившееся в сфере деятельности многочисленных последователей
А.Н.Тихонова, представляется весьма неприглядным. Фактически, усилия сконцентрированы
вокруг математического объекта с малым множителем 
образованного на основе
(3.1):
(3.3)
который именуется
интегральным уравнением Фредгольма второго рода, без упоминаний о его в этом
смысле неполноценности. Несмотря на огромный поток исследований, посвященных
определению параметра регуляризации – конструктивные алгоритмы отсутствуют. Главная
причина видится в несостоятельности идеи, подразумевающей возможность эффективного
согласования решений с данными некорректно поставленных задач (см. [2, 21, 22]).
По существу, приходится довольствоваться всего лишь сопоставлением решений
уравнения (3.3), получаемых в диапазоне уменьшения 
Можно предположить, что в связи
с высокой затратностью численной реализации при малых значениях внедрение методологии Тихонова в практику
разработок нанесло большой экономический ущерб. Что касается попыток исследования
интегрального уравнения Фредгольма первого рода в функциональных пространствах
его корректной разрешимости, то они носили единичный характер и не сопровождались
конструктивным воплощением [23].
В.М.Фридман, о работах [24, 25] которого говорилось в п.2.3, подошел к решению уравнения (3.1), безотносительно его приемлемости для моделирования реальных явлений. С позиций настоящего изложения, итерационные алгоритмы Фридмана интересны достижением, как представляется, максимально возможной результативности в рамках выбранного объекта исследования, о чем косвенно свидетельствуют их простота и лаконичность. Иначе говоря, добиться чего-то большего от уравнения (3.1) – едва ли возможно. Несмотря на формально существующую сходимость, с приближением к решению определяемые поправки становятся на фоне значений искомой функции малыми:
Без своевременного останова такой процедуры, вычислительный «шум» от операций
с отличающимися на порядки числами
способен радикально исказить решение [5, 15]. Становится очевидным, что в силу
своей природы интегральное уравнение Фредгольма первого рода содержит дефект,
принципиально не согласующийся с содержательной постановкой задачи об определении
функции 
по ядру и свободному члену (3.1).
В п.2.5 приведено соображение К.И.Бабенко [26] о необходимости учитывать
фактор потери информации при оценке сравнительной эффективности вычислительных
алгоритмов. Как представляется, в еще большей мере это следует делать на этапе
постановки задачи. Поскольку при вычислении 
по формуле (3.1) информация о объективно сглаживается, восстановление этой
функции в рамках традиционного подхода вполне закономерно сводится к решению
некорректной задачи.
Если гипотетически предположить, что для определения функции 
удовлетворяющей уравнению
(3.1), окажется возможным использовать некоторое другое уравнение, содержащее
ее не только под интегралом, но и в явном виде, – все проблемы снимаются. Такое
вхождение 
можно представить в контексте моделирования
погрешности вычислений, с участием также и интегральной компоненты (в сумме
дающих «нуль»).
