|
|
|
|
|
Предобусловленный метод сопряженных градиентов рассматривают в качестве одного из наиболее эффективных для решения больших плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений, которые возникают при дискретизации задач математической физики [27]. Невырожденная матрица – предобусловливатель позволяет сводить процедуру численной реализации к последовательности алгебраических задач со сколь угодно благоприятными свойствами, однако в противовес возрастает количество необходимых итераций и трудоемкость промежуточных вычислений (п.2.7).
Одной из ключевых проблем вычислительной математики является выработка концептуальных основ, касающихся зависимости между представлением данных и эффективностью реализации алгоритмов. В этой связи, как весьма пессимистичные можно охарактеризовать воззрения К.И.Бабенко [26], всецело базирующиеся на количественной трактовке понятия информации. Действительно, едва ли не все алгоритмы указанного руководства сопровождаются «колоссальной» потерей информации, а редкие исключения отвечают лишь специальному представлению исходных таблиц, что на практике, как правило, не реализуется.
Альтернативна позиция Р.В.Хемминга [28], которого можно охарактеризовать как прямого продолжателя идей Адамара в области вычислительной математики. По его мнению, методы численной реализации должны адаптироваться к имеющейся информации, что же касается принципиальных осложнений, таких как некорректность постановки, то основное внимание необходимо сосредоточить на видоизменении математических моделей. Весьма привлекательно также соображение Р.Беллмана и С.Дрейфуса о целесообразности оценки качества информации на основании показателей эффективности ее использования [29].
О.М.Белоцерковский и В.В.Щенников [30] выступили с заявлением о кризисе в сфере математического моделирования, обусловленном сложностью как постановок задач, выдвигаемых практикой, так и – аппарата их численной реализации (п.2.8). В качестве причины указана неприспособленность методов «домашинной» математики к ситуациям, когда вследствие накопления погрешности округлений фактически любой алгоритм становится вычислительно некорректным. В конструктивном отношении, авторы предложили более целенаправленно развивать подходы в стиле Тихонова, никак не упомянув альтернативный вариант – согласование постановок задач с теоремой Банаха об обратном операторе.
Обратим внимание, поколения специалистов в различных областях математического моделирования воспитывались под лозунгами типа – «все реальные задачи механики сплошной среды плохо обусловлены», которые, без каких-либо обоснований, назойливо повторялись «мэтрами» на заседаниях различного рода симпозиумов. Итогом явилось внедрение на фольклорном уровне тезиса, подкрепленного всего лишь сформировавшейся практикой осуществления научно-исследовательской деятельности.
Флагманом отмеченной идеологии можно назвать Н.Н.Яненко, который, в отличие от ряда коллег, хорошо осознавал потери математического моделирования из-за разрыва аппарата численной реализации с основами функционального анализа. Однако первостепенным он считал принципиальное расхождение между классической и вычислительной математикой, состоящее в том, что первая из них оперирует с абстрактной символикой без потери информации, тогда как объектами второй являются числовые массивы, преобразования которых происходят с погрешностью (см. [3, 31]).
Аргументация работ Яненко методологической направленности позволяет предположить, что определенную роль при формировании его взглядов сыграли также и амбициозные мотивы сопричастности к становлению «новой» математики, которая, частично используя «старую», в целом ее существенно превосходит. Гротесковое выражение такой позиции содержат материалы монографий [21, 32], выдержки из которых приведены в п.2.8.
Представляется, что налицо извращение существа проблемы, поскольку теорема Банаха об обратном операторе – субстанция более высокого уровня, нежели операции с числами и, вместе с тем, именно для них наиболее важная. В самом деле, ограниченность обратного оператора дает практически единственную возможность предотвратить как неадекватную зависимость решения от данных задачи, так и накопление погрешности вычислений.
