|
|
|
|
|
Дальнейшая направленность
выкладок в некотором смысле противоположна предыдущей. Действительно, выше фактически
предпринималось все возможное (начиная с модели погрешности (4.4)) для того,
чтобы искомая функция 
а также 
и 
находились, в специально
для этого построенных уравнениях, не только под интегралом, но и в явном виде.
Вследствие этого получено (4.30) – представление решения 
с функцией 
также в явном виде.
Было бы весьма желательным
вывести другое представление содержащее, очевидно, и данные задачи (4.1),
в котором, напротив, функция находилась только под интегралом.
Исключение в нем и (4.30) позволило бы получить интегральное
уравнение Фредгольма второго рода относительно 
Еще один вариант достижения
той же цели состоит в определении подынтегрального выражения (4.32) через Поскольку функция 
в этом смысле известна (см. (4.31)), возникает
необходимость установления зависимости между 
и данными задачи.
Осуществление как одного,
так и другого из обозначенных вариантов можно представить в контексте приведения
(4.35) к виду (4.34). Основанием служит вхождение в каждое из этих уравнений
функции а также аналогичность их структуры. Это наводящие
соображения.
Для исключения функции
из (4.35) используем уравнение
(4.36)
в результате вычитания которого
|
|
(4.37) |
|
|
или
(4.38)
где
(4.39)
Если обозначить
то (4.38) приобретает вид
Относительно 
– это интегральное уравнение
Фредгольма второго рода. Обращая оператор 
при условии (4.20), с учетом
(4.1) получаем
(4.40)
|
|
(4.41) |
|
|
где
Таким
образом, функция 
определяется из интегрального уравнения Фредгольма
второго рода (4.40) и зависит только от данных (4.1), а также выбранного ядра
*
*
Собственно,  представляет собой часть решения (4.35) на
 которая обусловлена компонентой свободного
члена  |
При этом предполагается, что
где 
– характеристические числа однородного уравнения,
которое получается из (4.40) в случае 
Значения 
как и решение уравнения (4.40), находятся
с помощью приближенных методов [5]. После этого, функция 
вычисляется по формуле (4.41).
Однако
(4.37) может рассматриваться и как уравнение (4.34). Действительно, произведенное
исключение из уравнения (4.35) равносильно, образно выражаясь,
перетеканию этой функции в 
с появлением уравнения
(4.34). Требуется, следовательно, идентифицировать функции и из (4.34) в структуре уравнения
(4.37).
Воспользуемся
для этого уравнением (4.37) на 
:
|
(4.42) |
|
|
обратив внимание на способ
его получения. Он состоит в исключении из уравнения (4.35) части решения, зависящей
от компоненты свободного члена Однако при этом изменились функции, удовлетворяющие
данному уравнению, как на 
так и на 
Иначе говоря, видоизменились обе функции 
и 
Вместе
с тем, структура уравнений (4.34), (4.35) предполагает превращение одного из
них в другое путем изменения содержащихся функций только на то есть и 
*
* То же, что находилось на месте  в (4.35), должно остаться прежним. |
Поэтому в уравнении (4.42) скорректируем так, чтобы
исключилось слагаемое с функцией 
Соответственно к следует отнести члены уравнения (4.42), содержащие
функцию 
В результате появляются соотношения:
(4.43)
(4.44)
Здесь
– решение интегрального
уравнения Фредгольма второго рода
(4.45)
где
при условии (4.18).
Вычитая (4.45) из уравнения (4.42), получаем
|
(4.46) |
|
|
Уравнение
(4.35) на имеет вид
(4.47)
в результате его сопоставления с (4.46)
(4.48)
то есть от (4.42) мы, по существу, возвратились
к уравнению (4.35) на 
причем таким способом, который позволил установить
это соотношение.
Как можно заметить, соотношения
(4.43), (4.44) превращают (4.46) в (4.23). Покажем, что соотношения (4.43),
(4.44) и (4.48) действительно преобразуют уравнение (4.35) к виду (4.34). Обратимся
для этого к уравнению (4.35) на 
:
|
(4.49) |
|
|
Используя (4.44) и (4.32), получаем
где
и путем подстановки приведенных выражений (4.49) превращается в уравнение (4.34)
на
Подстановка
функции из (4.44) в (4.47), с использованием (4.48)
и (4.43), приводит к уравнению (4.34) на 
*
| * Или же, – уравнению (4.23), которое упоминалось выше. |
Таким образом, с помощью установленных соотношений уравнение
(4.35) как на так и на превращается в уравнение
(4.34).
Из (4.44), (4.48) и (4.39)
(4.50)
вследствие чего выражение (4.32) приобретает вид
(4.51)
Вывод соотношений (4.43), (4.44), а также (4.48) и, наконец, (4.50) – представляет собой главное звено в построении алгоритма.
Подстановка в (4.51) выражения (4.31) приводит к интегральному уравнению Фредгольма второго рода:
(4.52)
где 
(4.53)
(4.54)
Выражение (4.53), после подстановки в него (4.19) и (4.21), принимает вид
(4.55)
где 
и 
– собственные функции (4.17),
являющиеся на 
ортонормированными. Данное обстоятельство
позволяет определить резольвенту ядра 
Действительно, его характеристические
числа
и, поскольку 
при ограниченном 
что предполагается, лишь конечное их количество
может принимать отрицательные значения. На основании теоремы Мерсера [1], (4.55)
представляет собой билинейное разложение симметричного непрерывного ядра 
При условии
которое эквивалентно (4.20), его резольвента
(4.56)
вследствие чего решение уравнения (4.52) можно представить следующим образом:
(4.57)
Очевидно, для сходимости ряда (4.56), в дополнение (4.18) и (4.20), должно выполняться условие:
(4.58)
Подстановка
выражения (4.57) в (4.30), с использованием (4.21), позволяет вычислить функцию
являющуюся решением рассматриваемой задачи.
Процедура численной реализации включает этапы:
-
конкретизация параметра 
-
установление параметра 
из условий (4.18), (4.20) и (4.58), учитывая
также (4.4), то есть
(4.59)
-
установление параметра 
в (4.40) так, чтобы уравнение
(4.60)
имело лишь тривиальное решение;
-
определение функции 
– из уравнения (4.40);
-
вычисление функции 
– по формуле (4.41);
-
вычисление функции 
– по формуле (4.54);
- вычисление функции – по формуле (4.57);
- вычисление искомой функции 
– по формуле (4.30).
Заметим, что реализация алгоритма связана с использованием квадратур и кубатурных формул в двумерной области [6]. Одновременно могут быть задействованы приемы улучшения сходимости тригонометрических рядов [7, с.187-193] и способы интегрирования осциллирующих функций [8, с.113-115].
