|
|
|
|
|
Итак,
функция 
или же решение задачи (4.1) в ее суженной
постановке (см. п.4.2), находится по формуле (4.30). Вместе с тем, выражения
(4.28) – (4.31), представляющие собой решения уравнений (4.24), (4.25), удовлетворяют
им тождественно, вне зависимости от того каковы функции 
и 
Поэтому
нельзя на основании простого вычитания из (4.35) уравнения (4.25) утверждать,
что решение последнего удовлетворяет также и уравнению (4.1). Такая возможность
очевидна, но лишь при использовании в (4.25) и (4.35) адекватной функции В общем случае, решения
этих уравнений могут быть совершенно разными.
Требуется,
следовательно, показать, что определяемая выражением (4.30) функция которая удовлетворяет совместно
с 
уравнению (4.25), является также и решением
уравнения (4.35) на 
Для этого входящие в уравнения (4.24),
(4.25) и (4.34), (4.35) функции 
целесообразно переобозначить
соответственно как: 
и 
С помощью указанных пар уравнений получены соотношения соответственно, п.4.4:
(4.61)
и
см. (4.32) и (4.39), (4.44), (4.48), или
см. (4.50), наконец, в сокращенном виде
(4.62)
Однако фактически использовалось соотношение
(4.63)
где
см. (4.31), приведшее после подстановки в (4.61) к выражению
см. (4.51), из которого вытекает уравнение (4.52).
Иначе
говоря, в правую часть (4.62) на место 
была подставлена функция 
В целом, получение (4.63) явилось таким:
то есть были использованы две предпосылки
и соотношение (4.62).
Действительно, при выполнении этих тождеств соотношение (4.63) превращается в (4.62). Итак, можно сделать вывод о том, что указанные предпосылки, или же тождества
(4.64)
представляют собой условия, достаточные для сведения задачи (4.24), (4.34) и
(4.25), (4.35) к решению уравнения (4.52).
Наряду с этим, они являются также и необходимыми. В самом деле, из (4.62), (4.63) следует, что
(4.65)
аналогично, то есть путем вычитания, из (4.24) и (4.25) уравнений соответственно
(4.34) и (4.35) получаем
В результате вычитания, с использованием (4.65), возникают однородные уравнения:
решения которых при условии (4.18) – тривиальны. Таким образом, соотношения
(4.62), (4.63) автоматически влекут за собой тождества (4.64). Иначе говоря,
из существования указанных соотношений следует, что функции 
и в уравнениях соответственно
(4.24), (4.34) и (4.25), (4.35) одни и те же.
Процедура вычитания в каждой из этих пар уравнений дает
и с помощью замены переменных
получаем
Это однородное интегральное уравнение Фредгольма первого рода с ядром (4.11). На основании его замкнутости, можно сделать вывод о том, что
Следовательно,
для того, чтобы функции 
определяемые по формулам (4.30), (4.31), удовлетворяли
уравнениям как (4.25), так и (4.35), а значит также их разности, являющейся
уравнением (4.1), функция 
должна представлять собой
решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода (4.52). Это очень важный
момент всего изложения.
Заметим, что использование вместо (4.64) одного лишь тождества
возможно, однако интегральное уравнение Фредгольма второго рода, получаемое
путем подстановки выражения (4.63) в (4.61), было бы более громоздким.
