|
|
|
|
|
Начиная
с п.4.2 и вплоть до настоящего момента изложения предполагалось, что функция
удовлетворяющая уравнению
(4.1), может быть только гармонической; соответственно его свободный член 
определяется выражением (4.22). Здесь приводится
обобщение алгоритма п.4.4, для чего будет использован подход, аналогичный суммированию
рядов Фурье методом Абеля-Пуассона [2, 3]:
- проведение преобразований
в аналитическом виде с гармонической функцией 
которая представима хорошо
сходящимся рядом, при 
в (4.19);
- предельный
переход 
в выражении 
через данные задачи, представляющем
ряд, члены которого явно зависят от параметра 
Таким
образом, будет получено решение задачи, сформулированной в п.4.1. То есть, –
восстановлена -функция 
на основании результата
ее интегрирования по формуле (4.1), или же близкого к нему выражения 
которое является данным.
В уравнении (4.40) представим
(4.66)
где 
и 
– неопределенные коэффициенты;
(4.67)
(4.68)
где коэффициенты Фурье
(4.69)
(заметим, что вычисление этих функций не потребуется);
(4.70)
Соответственно
(4.71)
(4.72)
Подстановка
выражений (4.66) – (4.68) в уравнение (4.40) и приведение множителей при 
сводят вычисление коэффициентов
к решению системы линейных алгебраических
уравнений:
(4.73)
где с учетом (4.69)
(4.74)
Очевидно,
для разрешимости системы уравнений (4.73) параметр 
должен быть таким, чтобы, как и
в п.4.4, решение уравнения (4.60) могло быть только тривиальным. Заметим, что
при 
то есть в случае, когда
условие (4.18) не выполняется, элементы столбца свободных членов (4.73) обращаются
в нуль.
В выражении (4.41)
и соответственно
где
(4.75)
Подстановка
этой функции в (4.54) и затем 
– в (4.57) приводит к выражению
в результате по формуле (4.30) получаем
(4.76)
где
Предельный
переход дает следующие коэффициенты ряда (4.76):
(4.77)
где с учетом (4.75)
– константа. При этом
В качестве примера, поясняющего механизм производимых выкладок, рассмотрим определение функций (4.54) и (4.30):
Здесь
и
– коэффициенты Фурье функций соответственно и 
То есть,
при в первом случае происходит пересчет с множителем
коэффициентов Фурье (
и 
определены соответственно
на 
и 
); во втором – функция выражается через 
путем обыкновенного умножения на 
Система
линейных алгебраических уравнений (4.73) при 
принимает вид:
(4.78)
Элементы
ее матрицы преобладают на диагонали, за счет компоненты 
не зависящей от 
и 
вследствие чего для определения
коэффициентов 
содержащихся в (4.66), эффективны разнообразные
методы [9].
Если
и представляют собой -функции, отвечающие им ряды Фурье (4.67),
(4.68), сходятся в среднем. Из (4.71) и (4.72) при 
(4.79)
содержащиеся здесь множители ограничены, следовательно, аналогичным образом
сходятся и ряды, получаемые в результате подстановки выражений (4.67), (4.68).
Условие
разрешимости системы уравнений (4.78) эквивалентно отсутствию нетривиальных
решений уравнения (4.60) с ядром и свободным членом (4.79). Одновременно класс
функций, в котором может находиться решение интегрального уравнения Фредгольма
второго рода (4.40), расширяется до пространства 
Соответственно
ряд (4.66), приближающий функцию 
сходится в среднем и согласно равенству Парсеваля
из (4.77) следует, что таким же образом сходится и ряд (4.76):
На основании
теоремы Рисса-Фишера [1] и предшествовавших выкладок, можно сделать вывод о
том, что он представляет собой разложение -функции удовлетворяющей уравнению
(4.1), в ряд Фурье по элементам 
Следует
отметить, параметр сыграл здесь исключительно важную роль, поскольку
без него оказалось бы невозможным:
- собственно, построение алгоритма, приведшего к уравнениям (4.40) и (4.52);
- выполнение
преобразований с интегралами, ядра которых имеют вид рядов (4.19), (4.21), (4.55)
и (4.56), расходящихся при 
Итак,
значения 
и 
в (4.76) определяются через
коэффициенты Фурье данных задачи посредством устойчивой процедуры численной
реализации, которая включает этапы:
- установление
параметра 
из условий (4.59) при 
то есть
- установление параметра
так, чтобы решение уравнения (4.60) с данными
(4.79) могло быть только тривиальным;
- вычисление
коэффициентов 
и 
по формулам соответственно
(4.70) и (4.74);
- определение
коэффициентов 
и из системы линейных алгебраических
уравнений (4.78);
- вычисление
коэффициентов и по формулам (4.77).
Удовлетворение условия (4.6), после подстановки в (4.8) выражений (4.76), с коэффициентами (4.77), и
сводится к пересчету коэффициентов Фурье:
(4.80)
соответственно предельный переход по 
превращает в -функцию также и 
Условие (4.6) подразумевается теперь в смысле
(4.81)
Таким
образом, при 
могут быть найдены коэффициенты Фурье функции
позволяющие удовлетворить условие (4.81).
Однако эта же дискретизация изначально, то есть без преобразований с параметром
о чем уже упоминалось, полностью исключила
бы возможность построения алгоритма, позволяющего определить функцию которая удовлетворяет уравнению (4.1).
При в него превращается выражение
(4.22); с учетом (4.80) и (4.76). Соответственно, прекращает действовать ограничение
на вид свободного члена которое налагал «гармонический»
случай решения задачи.
Существенно
отметить, вывод п.4.5, о том, что функция действительно удовлетворяет уравнению (4.1),
при остается в силе. Соотношение (4.61) выполняется
в этом случае аналогично (4.81), то есть посредством зависимости между коэффициентами
Фурье функций и 
В п.5.3
будет изложен метод решения задачи (4.1) без предельного перехода по параметру
Это достигается за счет удовлетворения условию
(4.6) в смысле обобщенных функций. Общая направленность выкладок остается неизменной,
в полной мере используются результаты п.4.4.
