АннотацияПрочитатьСкачатьSummaryСвязаться с автором

К предыдущему разделу Содержание К следующему разделу

6.           СВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ И НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА

6.1.         Обыкновенные дифференциальные уравнения

Пусть, например:

                                                           (6.1)

                                                                                 (6.2)

где  и  – данные -функции.

Из обозначения

                                                                                      (6.3)

следует

                                                                       (6.4)

                                                    (6.5)

где ,  – постоянные интегрирования.

Подстановка выражений (6.3) и (6.5) в (6.1) приводит к интегральному уравнению Вольтерра второго рода

   (6.6)

решение которого имеет вид:


                                                       (6.7)

где  – резольвента ядра

Из граничных условий (6.2) с учетом (6.4), (6.5) и (6.7):

                            (6.8)

Можно поступить иначе, а именно, подставив выражения (6.4), (6.5) в (6.2), найти

в результате чего

                                                 (6.9)

В отличие от (6.6), задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода

        (6.10)

решение которого

                                                    (6.11)

где  – резольвента ядра*

* Предполагается, что однородное уравнение (6.10) имеет только тривиальное решение.

Подстановка выражения (6.7), с учетом (6.8), в (6.5), или (6.11) – в (6.9), позволяет найти решение задачи (6.1), (6.2). Заметим, что рассмотренный прием практически индифферентен к порядку дифференциального уравнения, виду граничных, или же начальных условий и данным задачи.

Подобные преобразования традиционно освещаются в курсах по теории интегральных уравнений (см., например, [1, 2]). Вместе с тем при решении прикладных задач, что можно охарактеризовать как своеобразный парадокс, построение интегральных уравнений второго рода относительно старшей производной не получило широкого распространения. И это, несмотря на весьма активные попытки популяризации данного подхода, среди которых можно выделить работы Ш.Е.Микеладзе, И.А.Биргера, А.Н.Голубенцева [3–5].

Видимо, причиной такого положения явились, с одной стороны, несовершенство технических средств численной реализации квадратурных формул в период, предшествовавший масштабной компьютеризации; с другой – недостаточная популярность аппарата теории интегральных уравнений в среде прикладников.

И вместе с тем вот, что говорит Г.Виарда [6, с.5]: «… интегральное уравнение заменяет собой соответствующее дифференциальное уравнение вместе с его граничными условиями, которые, если только речь идет о вполне определенном физическом явлении, необходимо появляются при всяком дифференциальном уравнении. Интегральное уравнение, содержит в себе уже все элементы, определяющие физическую задачу. Следующее преимущество интегральных уравнений состоит в том, что в большинстве случаев мы приходим к уравнениям одного и того же типа …, в то время как типы дифференциальных уравнений, даже в очень родственных задачах, часто оказываются весьма различными».

К предыдущему разделу Содержание К следующему разделу
Hosted by uCoz