|
|
|
|
|
Обратимся к задаче изгиба равномерной нагрузкой мембраны, растянутой по контуру:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
Из обозначения
(6.15)
следует
(6.16)
где 
– функции интегрирования.
С учетом (6.15) уравнение (6.12) принимает вид
и соответственно
(6.17)
где 
– также функции интегрирования.
Подстановка выражений (6.16), (6.17) в граничные условия
соответственно (6.13) и (6.14) позволяет определить 
в результате чего выражения (6.16) и (6.17) приобретают вид соответственно:
(6.18)
(6.19)
Исключая из них 
получаем интегральное уравнение Фредгольма
первого рода:
|
|
(6.20) |
|
|
Итак,
принципиальное отличие от одномерного случая состоит в том, что задача (6.12)
– (6.14) свелась к некорректно поставленной. Однако в настоящем нас будет интересовать
не определение функции 
удовлетворяющей уравнению (6.20) (заметим
лишь, что алгоритмы пп. 4.4, 4.6 и 5.3 на него распространяются), а собственно
универсальность используемой процедуры преобразований.
В самом деле, пусть область определения задачи отлична
от канонической и, например, второе условие (6.13) имеет вид 
где 
– некоторая однозначная функция. При этом
вместо (6.18)
и, с вычислительной точки зрения, отличительные моменты отсутствуют. Для
перехода к обычной операции вычисления интеграла в прямоугольной области достаточно
воспользоваться неортогональным отображением вида 
Нетрудно заметить, что каждое из выражений (6.18), (6.19)
тождественно удовлетворяет паре граничных условий, соответственно (6.13) и (6.14).
Остальные – выполняются приближенно, в зависимости от точности вычисления 
Вместе с тем, решение можно представить в
виде, тождественно удовлетворяющем как условиям (6.13), так и (6.14):
Здесь функции 
определяются по формулам соответственно (6.18)
и (6.19).
Норма невязки значений 
или 
позволяет оценить погрешность
приближенного решения
Однако, если вместо (6.13) были бы поставлены условия
вытекающее из (6.15) выражение производной
для их удовлетворения не подходит.
Тем не менее, данное осложнение легко преодолевается с помощью, например, соотношения
где 
– постоянная, позволяющего сохранить присутствие
обоих функций интегрирования 
Обратимся к эквивалентной формулировке задачи (6.12) – (6.14):
(6.21)
(6.22)
с использованием представлений решения вида
Предполагается, что ядра, удовлетворяющие условиям:
|
|
(6.23) |
|
|
– заданы; 
– также данные функции; 
– подлежат определению из граничных условий,
аналогично изложенному выше.
Примем 
В этом случае с учетом условий (6.22):
(6.24)
(6.25)
и соответственно
(6.26)
(6.27)
Пусть в дополнение условий (6.23), 
и 
являются L2-ядрами. При
этом (6.26), (6.27) представляют собой интегральные уравнения Вольтерра второго
рода относительно функций 
решения которых в соответствии с положениями
общей теории существуют и единственны. Таким образом, представления (6.24) и
(6.25) отвечают физическому содержанию задачи (6.21), (6.22).
В (6.23) можно принять
где
используя эти выражения для преломления априорной информации о решении с
целью сглаживания искомых функций 
и в целом – упрощения процедуры вычислений.
Понятно, что отмеченный момент актуален для более сложных задач с различного
рода особенностями поведения решений и здесь он лишь обозначен.
Подстановка
и 
из (6.26), (6.27) в (6.21)
приводит к системе интегральных уравнений
(6.28)
где
|
(6.29) |
|
|
Из уравнения (6.28)
(6.30)
где 
– резольвента ядра 
Подстановка выражения (6.30) в (6.29) позволяет получить
интегральное уравнение Фредгольма первого рода относительно функции 
Очевидно, приведенная схема
преобразований более громоздка по сравнению с базирующейся на формулировке той
же задачи в обычной интерпретации (6.12) – (6.14). Вместе с тем, в ней можно
усмотреть итерационные начала, которые обуславливаются тем, что (6.28) представляет
собой интегральное уравнение Вольтера второго рода относительно функций как
так и 
Процедура преобразований подходит также и для дифференциальных уравнений других типов, в подтверждение чего рассмотрим задачу теплопроводности:
(6.31)
(6.32)
Из 
уравнения (6.31) и условий (6.32) следует:
и соответственно
Для аналогичного преобразования задачи изгиба прямоугольной пластины переменной жесткости D, защемленной вдоль контура [7]:
|
|
(6.33) |
|
|
(6.34)
где 
– коэффициент Пуассона;
– интенсивность поперечной нагрузки, можно
принять
(6.35)
Здесь
функции предназначены для удовлетворения условий (6.34)
при 
и 
Второе представление решения
задачи через 
определяется путем подстановки (6.35) в уравнение
(6.33) и четырехкратного интегрирования по переменной 
Возникающие при этом функции 
позволяют удовлетворить условия (6.34) при
и 
после чего 
из представлений решения исключается.
Заметим, что, с помощью 
могут быть удовлетворены условия в отдельных
точках внутри рассматриваемой области, например, 
Процедура преобразований, распространяется
на собственно смешанные граничные условия (изменение типа вдоль стороны) и случай
сопряжения пластин. По аналогичной схеме к интегральным уравнениям Фредгольма
первого рода могут приводиться также и трехмерные задачи математической физики.
