|
|
|
|
|
Итак, вполне элементарный прием, или же способ сведения линейных краевых и начально-краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода весьма универсален с точки зрения своей реализации в части следующих аспектов:
- порядок, и структура дифференциальных операторов;
- вид граничных условий;
- наличие переменных коэффициентов;
- форма области определения;
- размерность задачи.
При этом вся информация о конкретно рассматриваемой задаче переносится в функциональное уравнение, решение которого не требуется подчинять каким-либо условиям на контуре области, что представляет существенное преимущество. Так, его можно искать в виде ряда по системе элементов, наиболее удобных с точки зрения процедуры численной реализации.
Другое дело, что получаемая в результате преобразований задача становится некорректной, а соответственно для ее решения необходимо использовать специальные методы. Вместе с тем, в приложениях может оказаться приемлемой аппроксимация решения такой задачи рядом, число членов которого не так велико, чтобы негативно влиять на устойчивость реализации вычислительных алгоритмов. Исходя из этого, трудно объяснимым представляется отсутствие интереса к применению продемонстрированной процедуры преобразований, в особенности – до появления возможностей использования универсальных методов дискретизации.
Следует отметить, что в специальной литературе не прозвучал тезис о существовании формализованного приема сведения практически произвольных краевых и начально-краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода. Наряду с этим, имеется целый ряд примеров применения подобных преобразований в ситуациях сравнительно частного характера. Как правило, им придавалась физическая интерпретация, в значительной мере скрадывавшая масштабность упомянутого приема.
Так, Ю.В.Репман использовал в качестве функции, близкой
по смыслу 
краевые усилия пластинки канонического очертания,
позволяющие удовлетворять условиям на внутреннем контуре сложной конфигурации
[8]. Л.А.Розин разработал метод расчленения, сводящий задачи расчета оболочек
к системам интегральных уравнений Фредгольма первого рода относительно усилий
взаимодействия выделяемых стержней [9, п.9]. В ряде публикаций отмечены преимущества
аппроксимации старших производных дифференциальных уравнений по одной из переменных,
после чего остается воспользоваться операциями интегрирования, которые, если
их сравнивать с численным дифференцированием, являются гораздо более точными.
Фактический переход при этом к некорректным задачам, как правило, не комментировался,
см., в частности, [10].
Некоторые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных и, например, следующего:
где 
и 
– данные функции переменных
и 
сводятся к интегральным
уравнениям Вольтерра или Фредгольма второго рода относительно старшей производной
Соответствующие исследования выполнены Г.Мюнтцем
[11] и, в этой связи, значительный интерес представляет установленная им безуспешность
попыток распространения аналогичных преобразований на случай простейшего уравнения
эллиптического типа.
