1.4. Предпосылки реализации условий корректности

Предположим, что – результат точного интегрирования функции и симметричного замкнутого ядра по формуле (1.6). В этом случае , причем соответствующее множество, что существенно, не является компактным. Данное обстоятельство порождает ограниченность оператора А^-1 из l₂ в , определяющего решение уравнения

(1.11)

о чем упоминалось выше. Едва ли следует пояснять сколь благоприятна в принципе подобная ситуация, при которой автоматически удовлетворяется третье условие корректности по Адамару, к тому же непосредственно вытекающее из существования и единственности решения.

Суть в устойчивости по определению обратной процедуры восстановления к малым в известном смысле возмущениям данных задачи. Соответственно решение уравнения (1.11) может быть получено по формуле (1.10) и при этом погрешности вычисления коэффициентов a_n, следуя (1.7) с , а также значений должны адекватно сказываться на в .

Однако на самом деле коэффициенты a_n находятся с погрешностью, эквивалентной – неточности, заложенной в определение свободного члена (1.6). Иначе говоря, правая часть уравнения (1.11) реально следующая:

. (1.12)

При этом необходимое условие корректности уравнения (1.11), а именно оказывается иллюзорным, поскольку получение какой-либо количественной информации в отношении не представляется возможным.

Заметим, что своеобразная “размытость” пространства l₂ обуславливается структурой нормирующего функционала (1.7) в виде бесконечного ряда членов, определяемых на основании спектральных характеристик ядра . В этом смысле такое пространство как является для функции гораздо более наглядным, однако его использование влечет весьма негативные последствия.

Действительно, в таком случае не принадлежит замкнутому подпространству , операторы А и А^-1 становятся соответственно вполне непрерывным и неограниченным, вследствие чего исследование, а также численная реализация исходного уравнения (1.6) фактически выводятся из сферы применения фундаментальной теоремы С.Банаха об обратном операторе. Не слишком ли дорогая расплата за в целом эфемерную, как представляется, наглядность при постановке задачи?

Обратим внимание на известную точку зрения о необходимости выбора пространств принадлежности решений задач математической физики, исходя из практических приложений, с которой трудно не согласиться. Вместе с тем достаточно спорным представляется также распространенное мнение будто бы социолог, например, должен ставить задачу, решаемую затем математическими методами, с указанием, в частности, пространств принадлежности ее данных. Последнее, как правило, допускает вариативность, создающую предпосылки повышения эффективности процедур численной реализации.

Имеются ли перспективы преодоления отмеченной выше сложности сопряжения свободного члена интегрального уравнения Фредгольма первого рода (1.6) с адекватным ему пространством l₂? В этой связи обратимся к уравнению (1.11), которое с учетом (1.12) приобретает вид

(1.13)

Как представляется, есть шанс приведения данной функции к посредством адаптивного моделирования погрешности . Действительно, , а по существу сглаживание информации процедурой интегрирования, естественно отразить разностью между искомой функцией в явном виде и интегралом от нее, ядро которого не налагало бы на постановку рассматриваемой задачи дополнительных ограничений * .

В развитие аналогичных соображений возникает условие

(1.14)

Итак, вместо традиционного восстановления функции посредством решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода (1.6) предлагается использовать, на первый взгляд, несущественное возмущение (нуль в L₂), адекватное задаче (1.13), (1.14). Как будет показано ниже, в результате сравнительно несложных преобразований определение удается свести к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода, являющегося исключительно привлекательным с точки зрения эффективности процедур численной реализации.

В заключение заметим, что известные методы решения уравнений вида (1.6) широко используются при кардинальном несоответствии между в , или же ином пространстве и функциями , которые находятся с помощью измерений. С этой точки зрения выполнение условия (1.14) едва ли может трактоваться непосредственно и, тем не менее, обозначенный подход остается в силе, интерпретируя, образно выражаясь, приближение рассматриваемой задачи к поставленной корректно. Так, сходимость ряда (1.7) должна подразумеваться с учетом соответствующей вариации ядра , что же касается алгоритмов решения получаемых в конечном итоге интегральных уравнений Фредгольма второго рода, то на их устойчивость погрешности измерений практически не влияют (см., например, [19]).