2. СУЩЕСТВУЮЩИЕ ПОДХОДЫ К РЕШЕНИЮ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ

2.1. Методология А.Н.Тихонова

Изложение данного подраздела базируется на материалах монографии А.Н.Тихонова и В.Я.Арсенина [1], которую буквально пронизывает концепция адекватности некорректных постановок и, в частности, интегральных уравнений первого рода задачам математической физики. В качестве иллюстрации показано, что решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода

(2.1)

с и непрерывными по x может претерпевать сколь угодно значительные изменения как в метрике C, так и L₂ при малых в вариациях правой части вида



Ситуация с возмущением ядра по существу аналогична, в связи с чем авторы ставят вопрос: что следует понимать под решением уравнения (2.1), когда k и f известны приближенно? По их мнению, подобная задача должна рассматриваться как “недоопределенная” и соответственно для отбора возможных решений необходимо привлекать дополнительную информацию о функции качественного, или же количественного характера, которая “обычно” имеется. В этой связи обратим внимание на соображения Н.Г.Преображенского относительно системы линейных алгебраических уравнений, получаемой дискретизацией (2.1) [2, c.130]:

“Анализ показывает, что выбирая достаточно высокий порядок приближения мы превращаем [указанную систему] в сколь угодно плохо обусловленную… В этих условиях необходимо внесение в алгоритм какой-либо априорной нетривиальной дополнительной информации, с помощью которой только и можно надеяться отфильтровать вуалирующие ложные варианты и выделить решение, наиболее близкое к истинному. Любые чисто математические ухищрения, не привлекающие дополнительных априорных данных, эквивалентны попытке создания информационного perpetuum mobile, производящего информацию из ничего”.

На априорной количественной информации основывается так называ-емый метод подбора решения некорректно поставленных задач. Показано, что если компакт М метрического пространства Е₁ взаимно однозначно и непрерывно отображается на множество F метрического пространства Е₂, то обратное отображение F на М также непрерывно. Соответственно предположение о принадлежности решения, в частности, уравнения (2.1) компакту М позволяет считать оператор А^-1 на множестве F = AM непрерывным. Практическая реализация сводится к аппроксимации М рядом с параметрами, изменяющимися в ограниченных пределах (так, чтобы М представляло замкнутое множество конечномерного пространства), которые находятся из условия минимизации невязки удовлетворения (2.1). Отметим отсутствие сколько-нибудь общих рекомендаций в отношении выбора М.

В свете изложенного, М.М.Лаврентьев сформулировал понятие корректности по Тихонову для уравнения вида (2.1) с функциями y и f, принадлежащими банаховым пространствам соответственно В₁ и В₂ [3]:

1. Априори известно, что решение рассматриваемого уравнения существует и принадлежит множеству М пространства В₁.
2. Решение единственно на множестве М.
3. Оператор А^-1 непрерывен на множестве АМ пространства В₂.

Если М – компакт (случай назван “обычным”) последнее условие становится следствием предыдущих.

Оператор назван регуляризирующим для уравнения (2.1), в случае если он обладает свойствами:

1. Определен для любых a > 0 и fÎ E₂.
2. При , где и – соответствующие точные выражения, существует такое , что для любого найдется . Здесь .

Подразумевается возможность выбора так, что при регуляризованное решение , то есть . Вместе с тем отмечена алгоритмическая сложность построения зависимости , для которой оператор являлся бы регуляризирующим, применительно к классам практически важных задач. Вопросам разрешения данной ситуации посвящены многочисленные публикации последователей А.Н.Тихонова, о которых будет сказано ниже.

Непосредственно в [1], построение выполнено с привлечением аппарата вариационного исчисления, сводящего вычисление к минимизации функционала

. (2.2)

Для уравнения (2.1) его стабилизирующую компоненту рекомендовано использовать в виде

(2.3)

где p₀, p_{1 ³} 0 – заданные функции.

В случае симметричного ядра процедура минимизации эквивалентна решению интегро-дифференциального уравнения

(2.4)

при условиях

. (2.5)

Здесь – произвольная вариация функции , не выводящая ее из класса допустимых.

По мнению авторов [4], подавляющее большинство обратных задач являются некорректно поставленными, причем попытки их решения, ввиду огромной практической важности, предпринимались на протяжении длительного периода. “Но только в результате … появления фундаментальных работ академика А.Н.Тихонова была создана современная теория решения обратных задач, в основу которой легло понятие регуляризующего алгоритма” (с.7). Далее продемонстрирована эффективность процедуры численной реализации интегральных уравнений Фредгольма первого рода, связанных с интерпретацией астрофизических наблюдений, посредством выделения компакта возможных решений в классе монотонно ограниченных функций.

Как отметил О.А.Лисковец [5]: “… корректность по Тихонову достигается за счет сужения допустимого множества решений до класса корректности” (с.13). Представляет интерес также следующая выдержка из указанной монографии: “В отличие от господствовавшего прежде мнения о том, что все задачи, описывающие физическую реальность, корректны, по современным представлениям каждая реальная задача регуляризуема, то есть имеет хотя бы один регуляризатор” (с.14).

Приведем заключение В.А.Морозова [6, c.9]: “Метод регуляризации А.Н.Тихонова оказался необременительным на практике, так как не требовал фактического задания компакта М, в котором содержится искомое решение уравнения (2.1). … Основная трудность применения данного метода заключается в формулировке алгоритмических принципов выбора параметра регуляризации a ”. Из его же монографии [7, c.4]: “Значимость статьи А.Н.Тихонова [8] трудно переоценить. Она послужила толчком для выполнения целого ряда работ других исследователей в самых различных областях математического анализа и естествознания: спектроскопии, электронной микроскопии, идентификации и автоматическом регулировании, гравиметрии, оптике, ядерной физике, физике плазмы, метеорологии, автоматизации научных исследований и ряде других разделов науки и техники”.

Достаточно характерны соображения В.В.Воеводина [9]: “Успех применения метода регуляризации к решению неустойчивых систем алгебраических уравнений объясняется в значительной мере тем, что А.Н.Тихонов и его последователи не ограничились исследованиями отдельных фрагментов этой сложной задачи, а рассмотрели весь комплекс связанных с ней вопросов. Это в первую очередь четкая постановка самой задачи, построение устойчивого к возмущению входных данных алгоритма ее решения, разработка эффективного численного метода, получение оценок отклонения реально вычисляемого объекта от искомого в зависимости от возмущения входных данных и ошибок округления”.

Из предисловия к сборнику [9] А.А.Самарского и А.Г.Свешникова: “Фундаментальное значение для всей современной математики имеет выяснение Андреем Николаевичем Тихоновым роли некорректных задач в классической математике и ее приложениях (обратные задачи). Им предложен принципиально новый подход к этому классу задач и развиты методы построения их устойчивых решений, основанные на принципе регуляризации”.