3.4. Концепции математического
моделирования на современном этапе
Предобусловленный метод сопряженных
градиентов рассматривается в качестве одного из наиболее эффективных
при решении больших плохо обусловленных систем линейных алгебраических
уравнений, которые возникают при дискретизации разнообразных задач
математической физики [30]. Невырожденная матрица – предобусловливатель
позволяет сводить процедуру численной реализации к последовательности
алгебраических задач со сколь угодно благоприятными свойствами,
однако в противовес возрастает количество необходимых итераций,
а также трудоемкость промежуточных вычислений (п.2.7).
Следует отметить, что структура
предобусловливателя лишена адаптационных начал в ориентации на те
или иные характеристики конкретной вычислительной процедуры. По
нашему мнению, аналогичная ситуация в целом характерна для дискретных
моделей и с этой точки зрения потенциал аппарата непрерывного анализа
находится на качественно более высоком уровне.
Одной из ключевых проблем
вычислительной математики является выработка концептуальных основ
в отношении зависимости между представлением данных и эффективностью
используемых алгоритмов. В этой связи как весьма пессимистичные
можно охарактеризовать воззрения К.И.Бабенко [23], всецело базирующиеся
на количественной трактовке понятия информации, преложенной А.Н.Колмогоровым.
Действительно, едва ли не все вычислительные операции указанного
руководства сопровождаются “колоссальной” потерей информации, а
редкие исключения отвечают лишь специальному представлению исходных
таблиц, что на практике, как правило, не реализуется.
Альтернативна позиция Р.В.Хемминга
[31], являющегося прямым продолжателем идей Ж.Адамара в области
вычислительной математики. По его мнению, методы численной реализации
должны адаптироваться к имеющейся информации, что же касается принципиальных
осложнений, таких как некорректность постановки, то основное внимание
необходимо сосредоточить на видоизменении математических моделей.
Весьма привлекательны также соображения Р.Беллмана и С.Дрейфуса
о целесообразности оценки качества информации на основании показателей
эффективности ее использования [32].
О.М.Белоцерковский и В.В.Щенников
[24] выступили с заявлением о кризисе в сфере математического моделирования,
обусловленном сложностью как постановок задач, выдвигаемых практикой,
так и аппарата их численной реализации (п.2.8). В качестве причины
отмечена неприспособленность методов “домашинной” математики к ситуациям,
когда вследствие накопления погрешностей округлений фактически любой
алгоритм становится вычислительно некорректным. По существу авторы
предложили более целенаправленно развивать подходы в стиле А.Н.Тихонова,
никак не упомянув альтернативный вариант – согласование постановок
рассматриваемых задач с теоремой Банаха об обратном операторе.
Обратим внимание, поколения
специалистов в различных областях математической физики воспитывались
под лозунгами типа – “все реальные задачи механики сплошной среды
плохо обусловлены”, который, без каких-либо пояснений, назойливо
повторялся “мэтрами” на заседаниях различного рода симпозиумов.
Итогом явилось внедрение на фольклорном уровне тезиса, подкрепленного
всего лишь сформировавшейся практикой осуществления научно-исследовательской
деятельности.
Флагманом отмеченной идеологии
можно назвать Н.Н.Яненко, который, в отличие от ряда коллег, хорошо
осознавал потери математического моделирования от разрыва аппарата
численной реализации с основами функционального анализа. Однако
первостепенным он считал принципиальное различие между классической
и вычислительной математикой, состоящее в том, что первая из них
оперирует с абстрактной символикой без потери информации, тогда
как объектами второй являются числовые массивы, преобразование которых
неизбежно сопровождается различного рода погрешностями (см. [3,
33]).
Аргументация работ Н.Н.Яненко
методологической направленности позволяет предположить, что определенную
роль при формировании его воззрений сыграли и амбициозные мотивы
сопричастности к становлению “новой” математики, которая, частично
используя “старую”, в целом ее существенно перекрывает. Гротесковое
выражение данной позиции представляет монография А.В.Чечкина [25],
всецело базирующаяся на концепциях А.Н.Тихонова.
Как представляется, налицо
извращение существа проблемы, поскольку теорема Банаха об обратном
операторе – субстанция более высокого уровня нежели операции с числами
и вместе с тем именно для них наиболее актуальная. В самом деле,
ограниченность обратного оператора дает практически единственную
возможность предотвратить как неадекватную зависимость решения от
данных задачи, так и накопление погрешности вычислений.
Выдающиеся положения Ж.Адамара
и С.Банаха, предвосхитившие становление индустрии математического
моделирования, должны рассматриваться в качестве ее фундаментальной
основы.
