3.5. Соображения по развитию
конструктивной теории
Предположим, что ядро 
интегрального уравнения Фредгольма первого рода (3.1) замкнуто
в 
и его решение существует *.
| * В интересах последовательности изложения,
мы повторяем некоторые из оговоренных вы-ше моментов. |
Соответственно подразумевается
возможность точного вычисления правой части посредством интегрирования,
или же принадлежность функции 
пространству 
,
означающая выполнение условия
(3.3)
где 
– характеристические числа и собственные функции ядра 
.
Вследствие замкнутости
решение уравнения (3.1) также и единственно; оператор А,
отображающий из 
в 
,
непрерывен, а значит выполнены все условия теоремы Банаха об обратном
операторе. Последняя утверждает, что непрерывен и обратный оператор
А-1,
осуществляющий отображение из пространства
в ,
иначе говоря, процедура вычисления 
устойчива к малым возмущениям данных:
и .
Соответственно ее можно реализовать без накопления погрешности округлений
значащих цифр.
В этой связи Обратимый мир
С.Банаха исключительно заманчив и вместе с тем он всецело базируется
на отсутствии какой-либо дифференциации используемых пространств
по предпочтительности. Доминирующие воззрения в сфере вычислительной
математики сугубо альтернативны, из-за чего как явно, так и, преимущественно,
исподволь проводится суждение о неконструктивности упомянутой фундаментальной
теоремы.
Доводы, на первый взгляд,
резонны. В самом деле, функция
зачастую определяется с погрешностью измерений и соответственно
для ее оценки естественны пространства типа 
,
ограничивающие те или иные суперпозиции значений на интервале. Пространство
,
как уже отмечалось выше, иллюзорно, поскольку оперирует с бесконечной
совокупностью признаков данных, становящихся в результате практически
неидентифицируемыми. Даже сравнительно малая вариация
способна нарушить критерий (3.3) и, следовательно, исказить решение
уравнения (3.1) по теореме Пикара.
Итак, данная фактически
функция ,
как правило, не принадлежит пространству .
Исключением является тривиальный случай представления
в виде ряда по элементам 
при точном определении 
.
Однако подобные предпосылки не могут служить основанием для игнорирования
пространства
при исследовании уравнения (3.1). Как представляется, конструктивизм
здесь возможен исключительно в контексте согласования, вообще говоря,
альтернативных устремлений:
- функция
- оператор А
осуществляет отображение из
в .
Мотивация очевидна: сохранить
потенциал непрерывной обратимости оператора А
в целях его практической реализации. Вместе с тем обозначенное противоречие
налицо и преодолеть его, ограничиваясь исключительно рамками интегрального
уравнения Фредгольма первого рода (3.1), не представляется возможным.
В такой ситуации естественно обратиться, образно выражаясь, к происхождению
данного уравнения, то есть проблематике, связанной с постановкой
задачи.
Пусть, имеется некоторый
процесс, описываемый оператором А.
Прямая задача состоит в вычислении интеграла по формуле (3.1) при
подстановке данной функции .
Если она представлена рядом, в частности, по 
,
соответствующие члены решения приобретают множитель 
,
вследствие чего сходимость усиливается. Указанная процедура обладает
множеством физических, а также иного характера интерпретаций и является
математически корректной.
Ключевой момент – формулировка
обратной задачи для того же оператора А,
которая сопряжена с восстановлением функции
по данной реализации процедуры интегрирования, то есть .
Фактически подразумевается определение причины по следствию и если
схема решения прямой задачи наглядна, то ситуация в отношении обратной
– диаметрально противоположная. При ее решении приоритетной становится
собственно алгоритмическая процедура на базе адекватной математической
модели, не являющаяся аналогом процесса, проистекающего в режиме
реального времени **.
| ** Действительно, порождение следствием
причины как процесс - лишено, тем более в замк-нутой системе,
физического смысла. |
В целом, традиционная постановка обратных задач
посредством формального переименования известных и неизвестных компонентов
математических моделей, описывающих объективно происходящие процессы,
– неосновательна.
Как в свете изложенного не
обратиться к утверждению Ж.Адамара о том, что все задачи, имеющие
практическое истолкование, допускают математически корректную
постановку? Исходя из этого, поскольку решение задачи, обратной
вычислению интеграла (3.1), объективно существует и единственно,
ее следует всего лишь адекватно сформулировать. Вместе с тем Ж.Адамар
не привел соответствующих рекомендаций конструктивного характера
и на современном этапе развития математической физики его методология
оказалась по существу полностью отвергнутой
***.
| *** Первая публикация Ж.Адамара по данной
проблематике относится к 1902 г. Полагают, что идея корректности
инициировала исследования С.Банаха в области теории операторов
20-х гг. |
Однако
попытаемся проследить формулировку задачи, обратной вычислению интеграла
(3.1), которое в общем случае производится с некоторой погрешностью:
(3.4)
В прямой постановке ее учет
не имеет принципиального значения, тем не менее, решения интегральных
уравнений Фредгольма первого рода (3.1) и (3.4) могут быть совершенно
различными. При этом ставить вопрос о какой-либо количественной
интерпретации 
–
бессмысленно. Более того, даже в случае существования аналитического
решения 
его восстановление посредством некоторой дискретизации сводится
к решению плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений.
Из общих соображений, присутствие
в (3.4)
повышает потенциал постановки обратной задачи, наряду с чем возникает
принципиальный вопрос о модели допускаемой погрешности. Следует
учесть, что механизм ее генерации обуславливается фактором сглаживания
процедурой интегрирования, а значит структура
должна отражать в определенном смысле информационную несовместимость
между указанной функцией и ее отображением 
(по существу – явным и неявным представлениями).
На основании сказанного,
воспользуемся операторной моделью погрешности вида
,
(3.5)
где В
– интегральный оператор; 
– параметр, предназначенные для адекватной аппроксимации
в диапазоне от нуля – до конечных искажений, связанных с измерениями.
Таким образом, вместо интегрального
уравнения Фредгольма первого рода (3.1) предлагается решать следующую
задачу:
(3.6)
Здесь параметр 
,
как и ,
предназначен для того, чтобы получаемое в результате преобразований
интегральное уравнение Фредгольма второго рода не располагалось
на спектре, что эквивалентно существованию и единственности его
решения (см., например, [34]); 
.
Обратим внимание, традиционная
постановка обратной задачи в виде интегрального уравнения Фредгольма
первого рода (3.1) ничем не нарушена, поскольку к его свободному
члену всего лишь прибавлена функция, представляющая нуль в .
Вместе с тем трансформация некорректной задачи (3.1) к постановке
(3.6) создает предпосылки для кардинального изменения ситуации.
В самом деле, от 
,
вообще говоря, можно потребовать адаптивной компенсации погрешностей
вычислительных операций, выводящих
из пространства ,
вследствие чего возникают перспективы для конструктивной реализации
оператора А-1.
При 
негативный фактор некорректности уравнения (3.1) в полной мере нивелируется.
Как будет показано ниже,
оператор В
из (3.5), при котором =
0 в ,
целесообразно представить следующим образом:
налагая на ядро 
,
преобразованное путем линейной замены переменных, условие замкнутости.
В результате задача (3.6) приобретет вид
(3.7)
(3.8)
Нетрудно заметить, что условие
в отношении ,
эквивалентное уравнению (3.8), предполагается удовлетворить посредством
распространения
на 
,
равносильного использованию новой неизвестной функции.
Известно суждение будто
бы перспективы получения весомых результатов с помощью простых преобразований
математических зависимостей – невелики.
В самом деле, применив к уравнениям (3.7), (3.8) операцию вычитания,
вновь получим исходную задачу, которая некорректна. Однако, во-первых,
мы не собираемся этого делать и, во-вторых, за интегральными уравнениями
с искомой функцией в явном виде интуитивно ощутим конструктивный
потенциал.
С этой точки зрения весьма
знаменательным представляется “несрабатывание” известной демонстрации
сглаживания особенностей искомого решения процедурой интегрирования
(3.1). Действительно, предполагая, что функция 
,
удовлетворяющая системе уравнений (3.7), (3.8), известна, сообщим
ей возмущение вида 
.
Подстановка в (3.6) показывает, что на свободный член 
оно влияет как с понижающим коэффициентом ,
так и без него – за счет соответственно интегрирования и явного
присутствия .
Сказанное не распространяется
на 
,
однако определение данной функции выходит за рамки рассматриваемой
задачи. Подчеркнем, что последние соображения – исключительно наводящего
характера и, как будет показано, выполнение условия 
связано с рядом достаточно тонких моментов.
В заключение настоящего раздела
отметим неправомерность распространенного мнения о необходимости
формулировки задач математического моделирования специалистами-прикладниками
соответствующего профиля, тогда как предназначение математиков состоит
в проведении строгих аналитических исследований, разработке вычислительных
методов и участии в их реализации.
Как представляется, прикладники
должны заниматься постановкой прямых и в целом корректных задач.
Фактор некорректности непосредственно сопряжен с методом решения,
вследствие чего уделом математиков является приведение постановок
задач, интерпретирующих рассматриваемые процессы, к условиям эффективного
применения теоремы Банаха об обратном операторе.
Литература
к разделу
- Адамар Ж. Задача Коши
для линейных уравнений с частными производными гиперболического
типа. – М.: Наука, 1978. – 351 с.
- Тихонов А.Н., Арсенин
В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979. – 285
с.
- Яненко Н.Н., Преображенский
Н.Г., Разумовский О.С. Методологические проблемы математической
физики. – Новосибирск: Наука, 1986. – 296 с.
- Морозов В.А. Регулярные
методы решения некорректно поставленных задач. – М.: Наука, 1987.
– 239 с.
- Верлань А.Ф., Сизиков
В.С. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы, программы. Справочное
пособие. – Киев: Наукова думка, 1986. – 543 с.
- Крейн С.Г. Линейные уравнения
в банаховом пространстве. – М.: На-ука, 1971. – 104 с.
- Пуанкаре А. О науке.
– М.: Наука, 1983. – 559 с.
- Проблемы Гильберта /Под
ред. П.С.Александрова. – М.: Наука, 1969. – С.54–55.
- Стеклов В.А. Основные
задачи математической физики. – М.: Наука, 1983. – 432 с.
- Петровский И.Г. Лекции
об уравнениях с частными производными. – М.: Физматгиз, 1961.
– 400 с.
- Пригожин И., Стенгерс
И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой. – М.: Прогресс,
1986. – 431 с.
- Курант Р., Гильберт Д.
Методы математической физики. – М.;Л.: Гостехтеориздат, 1945.
– Т.2. – 620 с.
- Банах С.С. Курс функціонального
аналізу. – Київ: Радянська школа, 1948. – 216 с.
- Лаврентьев М.М., Савельев
Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991.
– 331 с.
- Вайникко Г.М., Веретенников
А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. – М.: Наука,
1986. – 181 с.
- Колмогоров А.Н., Фомин
С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.:
Наука, 1989. – 623 с.
- Люстерник Л.А., Соболев
В.И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1965. – 520
с.
- Функциональный анализ
/Под ред. С.Г.Крейна. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
- Михлин С.Г. Курс математической
физики. – М.: Наука, 1968. – 575 с.
- Михлин С.Г. Линейные
уравнения в частных производных. – М.: Высшая школа, 1977. – 431
с.
- Михлин С.Г. Некоторые
вопросы теории погрешностей. – Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та,
1988. – 333 с.
- Данфорд Н., Шварц Дж.
Линейные операторы: Общая теория. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962.
– 895 с.
- Бабенко К.И. Основы численного
анализа. – М.: Наука, 1986. – 744 с.
- Рациональное численное
моделирование в нелинейной механике /Под ред. О.М.Белоцерковского.
– М.: Наука, 1990. – 123 с.
- Чечкин А.В. Математическая
информатика. – М.: Наука, 1991. – 412 с.
- Бакушинский А.Б., Гончарский
А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. – М.:
Изд-во Московск. ун-та, 1989. – 198 с.
- Петров А.П. Оценки линейных
функционалов для решения некоторых обратных задач //Журнал вычислительной
математики и математической физики. – 1967. – 7. – №3. – С.648–654.
- Фридман В.М. Метод последовательных
приближений для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода //Успехи
математических наук. – 1956. – 11. – №1. – С.233–234.
- Фридман В.М. О сходимости
методов типа наискорейшего спуска //Успехи математических наук.
– 1962. – 17. – №3. – С.201–208.
- Ортега Дж. Введение в
параллельные и векторные методы решения линейных систем. – М.:
Мир, 1991. – 365 с.
- Хемминг Р.В. Численные
методы (для научных работников и инженеров). – М.: Наука, 1968.
– 400 с.
- Беллман Р., Дрейфус С.
Прикладные задачи динамического программирования. – М.: Наука,
1965. – 458 с.
- Николай Николаевич Яненко.
Очерки. Статьи. Воспоминания /Сост. Н.Н.Бородина. – Новосибирск:
Наука. 1988. – 303 с.
- Краснов М.Л. Интегральные
уравнения: Введение в теорию. – М.: Наука, 1975. – 303 с.
