2.3. Направление В.М.Фридмана
Пусть 
– симметричное положительно определенное ядро и уравнение (2.1)
разрешимо. Тогда, как показал В.М.Фридман [17], последовательность
функций, определяемых итерациями
(2.10)
сходится в 
к решению уравнения (2.1) при произвольном выборе начального приближения
и 0 < l
< 2l 1, где
l 1
– наименьшее характеристическое число ядра .
М.А.Красносельский [18] распространил
данный результат на любое имеющее решение уравнение вида (2.1) с
линейным ограниченным оператором А
в гильбертовом пространстве
Н.
Доказана теорема о сходимости к решению последовательных приближений
(2.11)
Здесь 
I – тождественный оператор;
А* –
оператор, сопряженный А;
Заметим, что в случае интегрального
оператора (2.1)
где
Известен целый ряд процедур
убыстрения сходимости итераций по Фридману (см.[10]). Например,
при условиях, которые оговорены в отношении процедуры (2.10):
(2.12)
где 
.
Г.М.Вайникко и А.Ю.Веретенников
[19] исследовали итерационный алгоритм неявного типа:
(2.13)
где 
;
параметр a >
0.
Следует подчеркнуть, что
в отличие от регуляризации вида (2.6), базирующейся на малости a
, для рассматриваемого подхода характерно многократное итерирование
при, напротив, достаточно большом значении указанного параметра.
Наряду с этим к достоинствам процедур (2.10) – (2.13) относится
возможность конструктивного использования апостериорной оценки погрешности
для завершения итераций.
В простейшем
случае
находится номер n,
при котором впервые
где d
и g – погрешности определения
соответственно 
и 
;
,
– постоянные, удовлетворяющие ряду требований по обеспечению устойчивости
вычислительных операций.
Исследовано также влияние
на сходимость последовательных приближений ошибок, малых в вероятностном
смысле [19].
Авторы [20] привели доводы
о целесообразности сочетания регуляризации уравнения вида (2.1),
параметром которой является номер итерации, с алгоритмами типа наискорейшего
спуска. Данный подход восходит к публикации В.М.Фридмана [21] и
реализуется, в частности, по схеме
(2.14)
где
что адекватно выбору шага
спуска из условия минимума функционала невязки
