2.8. Кризис технологии математического моделирования

2.8. Кризис технологии математического моделирования

Весьма интересным представляется по существу программное заявление О.М.Белоцерковского и В.В.Щенникова в предисловии [56]:

“Бурное развитие вычислительной техники, которое особенно ярко проявилось в последние 10–15 лет, с особой остротой поставило проблему создания принципиально новой технологии решения задач на ЭВМ. … Исторически сложилось так, что проблемы численного моделирования (в это понятие мы включаем собственно математическое моделирование, сопряженное с численным экспериментом), будучи заметно продвинуты еще в “домашинный” период и развиваясь опережающими темпами в последующие периоды, оказались наиболее консервативной компонентой современной математической технологии решения задач на ЭВМ. Прибегая, может быть к излишней с точки зрения математиков образности изложения, можно охарактеризовать сложившуюся ситуацию двумя устойчивыми тенденциями:

И та и другая тенденция неизбежно приводят к технологическому тупику, поскольку создают практически трудно преодолимые сложности в решении задачи создания программно-аппаратных средств поддержки функционирования всей технологической цепочки… Не претендуя на глубину и значимость аналогии, мы отваживаемся утверждать, что ситуация, складывающаяся в современном численном моделировании, схожа с ситуацией, наблюдавшейся в механике перед появлением основных идей и концепций квантовой механики”.

Во вступительной статье [56] те же авторы акцентируют внимание на феномене накопления погрешностей округлений при численной реализации алгоритмов, включающих до 10¹² операций, а также отсутствии реальных средств для оценки погрешности решений, в частности, эволюционных задач. По их мнению: “… вполне обоснованным является следующее заключение: априори любая эволюционная задача на больших временах является численно (или вычислительно) некорректной в смысле отсутствия практически значимого решения… .

В случае же, если отсутствует априорная или апостериорная информация о погрешности приближенного решения, нельзя говорить о существовании решения. Этот вывод вполне согласуется с теоремой А.Н.Тихонова, утвержда-ющей, что задача с данными об операторе и правой части не имеет решения во множестве приближенных чисел”.

О.М.Белоцерковский и В.В.Щенников считают конструктивной идею ассамблирования дискретных моделей рассматриваемых задач с целью повышения точности информации о решении посредством специальной суперпозиции. Предлагается также искать решение в классе функций с ограниченной вариацией, который бы придавал разностному оператору задачи сглаживающие свойства.

Известно сколь большое внимание уделял методологии математического моделирования Н.Н.Яненко (см. [2]). Выдвинутую им концепцию преодоления обозначенного кризиса поясняет О.М.Белоцерковский [57, c.106]:

“Исследование разностных схем, аппроксимирующих различные классы уравнений математической физики, приводит Н.Н.Яненко к расширению понятия схемы. Впервые он начинает рассматривать разностную схему как самостоятельный объект исследования, как математическую модель, адекватную той или иной физической модели. Это фундаментальное положение основано на глубоком понимании основ дифференциального и интегрального исчисления.

Действительно, физико-математические модели, описываемые дифференциальными, интегральными или интегро-дифференциальными уравнениями, получают из дискретных моделей путем осреднения и предельного перехода по тем или иным параметрам. Это имеет место, например, в модели сплошной среды, где для достаточно большого числа элементов в единице объема путем осреднения и предельного перехода по объему приходят к понятию сплошной среды. В этой связи можно трактовать разностную схему как самостоятельную математическую модель, обладающую теми или иными свойствами”.

Обратим внимание на основополагающие, пожалуй, соображения Н.Н.Яненко [2]: “Объекты современной математики, теоретическое “ядро” которой составляют топология, геометрия, алгебра и функциональный анализ, представляют собой идеальные логические конструкции, образующие некоторую операционную систему. Мы будем называть их идеальными объектами, подчеркивая тем самым, с одной стороны, их практическую недостижимость и нереализуемость, а с другой – их прекрасные операционные качества, позволяющие совершать действия без потери информации. Идеальные объекты математики являются по своей сути инфинитными, требующими бесконечного числа операций” (с. 12).

“Развитие экспериментальной базы и инструмента исследования – ЭВМ – повысило интерес к таким конечным объектам как машинные числа, программы, конечные автоматы. В связи с этим принятое в ХХ веке определение математики как науки о бесконечном следовало бы заменить другим, более правильно отражающим ее сущность, т.е. как науки о соотношении конечного и бесконечного” (с.18).

На основании изложенного, можно сделать очень важный, по нашему мнению, вывод: при построении концептуальных основ математического моделирования ведущие специалисты руководствуются положением о неприменимости теоремы Банаха об обратном операторе. Заметим, что Н.Данфорд и Дж.Шварц отнесли ее к трем основным принципам линейного функционального анализа, которые охарактеризовали как весьма плодотворные [58, c.61]* .

Попытку обновления упомянутых фундаментальных основ в контексте акцентации особенностей вычислительной математики предпринял А.В.Чечкин [59], предложивший дифференциацию разделов математики на классические и неклассические, соответственно: “арифметика, математический анализ, алгебра, геометрия, теория вероятности и др.; математическая логика, теория информации и статистика, теория нечетких множеств, теория алгоритмов и рекурсивных функций, методы вычислительной математики, теория разностных схем, теория кубатурных формул, методы решения некорректных задач и др.”(с.8). При этом в качестве критерия выбран факт наличия абсолютно полной, или же частичной информации о рассматриваемых объектах (точки, функции и т.д.).

Выдержка из аннотации раздела [59, c.78]: “Определяется и изучается новый вид отображений, являющихся обобщением классического понятия. Классические отображения осуществляют соответствие между точками множеств. При этом подразумевается, что точки известны с абсолютной точностью. Новые отображения, названные ультраотображениями, осуществляют соответствие между информациями о точках множеств. Основная конструкция ультраотображений, названная ультраоператорами, позволяет по отдельным

сведениям о точке прообраза получать отдельные сведения о точке образа.

Определяется ультранепрерывность ультраоператоров, являющаяся широким обобщением понятия устойчивости методов. Выясняется, что для любого опорного оператора можно построить ультранепрерывный оператор над ним. Выделяется класс ультранепрерывных ультраоператоров, названных тихоновскими, для которых опорные операторы не являются непрерывными”. И далее: “Они связаны с идеями и методами решения некорректных математических задач А.Н.Тихонова”.

Возвращаясь к вопросу об адекватной дискретизации, приведем выдержку из резюме монографии А.А.Дезина [60]: “Посвящена описанию основных структур многомерного анализа и рассмотрению внутренним образом определяемых дискретных задач анализа и математической физики. Имеется в виду, что речь идет не просто об аппроксимации заданного континуального объекта, а о построении его аналога, отправляясь от понятий, допускающих дискретную трактовку”.

Доводы о противоречии физическому смыслу дифференциальных моделей некоторых классов задач механики сплошной среды привел М.А.Зак [61]. В этой связи им разработан общий подход, всецело базирующийся на положениях теоретической механики при своеобразной интерпретации принципа наименьшего принуждения Гаусса.

Альтернативна позиция К.Трусделла, полагающего, что в целом континуальная механика деформируемого тела “по существу своему не только тоньше, красивее и величественнее, чем весьма скудный частный случай, называемый “аналитической механикой”, но и гораздо лучше подходит для моделирования реальных тел” [62, c.10].

Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979. – 285 с.
Яненко Н.Н., Преображенский Н.Г., Разумовский О.С. Методологические проблемы математической физики. – Новосибирск: Наука, 1986. – 296 с.
Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. – М.: Наука, 1991. – 331 с.
Гончарский А.В., Черепащук А.М., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. – М.: Наука, 1978. – 335 с.
Лисковец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. – Минск: Наука и техника, 1981. – 343 с.
Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. – М.: Наука, 1987. – 239 с.
Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. – М.: Изд-во Московск. ун-та, 1987. – 217 с.
Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации //Доклады АН СССР. – 1963. – 151. – №3. – С.501–504.
Воеводин В.В. Решение неустойчивых систем линейных алгебраических уравнений /Проблемы математической физики и вычислительной математики. – М.: Наука, 1977. – С.91–95.
Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. – Киев: Наукова думка, 1986. – 543 с.
Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода //Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1964. – 4. – №3. – С.564–571.
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 742 с.
Винокуров В.А. О погрешности приближенного решения линейных обратных задач //Доклады АН СССР. – 1979. – 246. – №4. – С.792–793.
Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. – М.: Изд-во Московск. ун-та, 1989. – 198 с.
Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. – М.: Наука, 1978. – 208 с.
Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. – М.: Наука, 1979. – 447 с.
Фридман В.М. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода //Успехи математических наук. – 1956. – 11. – №1. – С.233–234.
Приближенное решение операторных уравнений /М.А.Красносельский, Г.М.Вайникко, П.П.Забрейко и др. – М.: Наука, 1969. – 455 с.
Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. – М.: Наука, 1986. – 181 с.
Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. – М.: Наука, 1988. – 286 с.
Фридман В.М. О сходимости методов типа наискорейшего спуска //Успехи математических наук. – 1962. – 17. – №3.– С.201–208.
Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. – Новосибирск: Наука, 1983. – 207 с.
Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. – М.: Мир, 1970. – 336 с.
Любич Ю.И. Линейный функциональный анализ /Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. – М.: ВИНИТИ, 1988. – Т.19. – 316 с.
Бабенко К.И. Основы численного анализа. – М.: Наука, 1986. – 744 с.
Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. – М.: Наука, 1978. – 497 с.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. – М.: Наука, 1976. – 215 с.
Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч., мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности. – М.: Мир, 1989. – 310 с.
Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задач метода наименьших квадратов. – М.: Наука, 1986. – 230 с.
Петров А.П. Оценки линейных функционалов для решения некоторых обратных задач //Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1967. – 7. – №3. – С.648–654.
Хованский А.В. Регуляризованный метод Гревилля и его применение в компьютерной томографии //Математическое моделирование. – 1996. – 8. – №11. – С.109–118.
Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. – М.: Мир, 1991. – 365 с.
Мышкис А.Д. Математика для втузов: Специальные курсы. – М.: На-ука, 1971. – 632 с.
Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. – М.: Наука, 1977. – 311 с.
Васильева А.Б. О развитии метода малого параметра /Проблемы математической физики и вычислительной математики. – М.: Наука, 1977. – С.70–81.
Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. – М.: На-ука, 1981. – 487 с.
Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. – М.: Наука, 1981. – 398 с.
Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. – М.: Наука, 1978. – 351 с.
Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач //Доклады АН СССР. – 1963. – 153. – №1. – С.49–52.
Phillips D.L. A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind //J. Assoc. Comput. Mach. – 1962. – 9. – №1. – Р.84–97.
Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. – М.: Мир, 1990. – 279 с.
Канторович Л.В. О новых подходах к вычислительным методам и обработке наблюдений //Сибирский математический журнал. – 1962. – 3. – №5. – С.701–709.
Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. – М.: Мир, 1986. – 446 с.
Сейсмическая томография /Под ред. Г.Нолета. – М.: Мир, 1990. – 416 с.
Натансон И.П. К теории приближенного решения уравнений /Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А.И.Герцена, 1948. – Т.64. – С.3–8.
Виарда Г. Интегральные уравнения. – М.;Л.: Гостехтеориздат, 1933. – 192 с.
Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика //Успехи математических наук. – 1948. – 3. – №6. – С.89–185.
Красносельский М.А., Крейн С.Г. Итерационный процесс с минимальными невязками //Математический сборник. – 1952. – 31. – №2. – С.315–334.
Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. – М.: Мир, 1980. – 279 с.
Малышев А.Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. – Новосибирск: Наука, 1991. – 228 с.
Капорин И.Е. О предобусловливании и распараллеливании метода сопряженных градиентов /Добавление к [32]. – С.343–355.
Хемминг Р.В. Численные методы (для научных работников и инженеров). – М.: Наука, 1968. – 400 с.
Трауб Дж., Васильковский Г., Вожьняковский Х. Информация, неопределенность, сложность. – М.: Мир. 1988. – 183 с.
Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. – М.: Наука, 1965. – 458 с.
Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы. – М.: Наука, 1977. – 439 с.
Рациональное численное моделирование в нелинейной механике /Под ред. О.М.Белоцерковского. – М.: Наука, 1990. – 123 с.
Николай Николаевич Яненко. Очерки. Статьи. Воспоминания /Сост. Н.Н.Бородина. – Новосибирск: Наука, 1988. – 303 с.
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы: Общая теория. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 895 с.
Чечкин А.В. Математическая информатика. – М.: Наука, 1991. – 412 с.
Дезин А.А. Многомерный анализ и дискретные модели. – М.: Наука, 1990. – 238 с.
Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред. – Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974. – 120 с.
Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. – М.: Мир, 1975. – 592 с.